Sejax}=(1,-2,1,6) em , e seja .
Calcule projeção de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção do vetor no subespaço de , que é gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a projeção de um vetor em um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que geram o subespaço . Temos:
A projeção de x em U pode ser escrita como uma combinação linear desses vetores:
ProjU(x) = au1 + bu2
onde a e b são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar a e b, vamos montar um sistema de equações. A diferença entre x e sua projeção deve ser ortogonal a todo vetor em U. Isso nos dá as seguintes equações:
(x - (au1 + bu2)) cdot u1 = 0
(x - (au1 + bu2)) cdot u2 = 0
Essas equações garantem que o erro está perpendicular a U.
Passo 4
Vamos calcular os produtos escalares. Primeiro, calculemos u1 cdot u1, u1 cdot u2, u2 cdot u2, x cdot u1, e x cdot u2: