Sejax}=(1,-2,1,6) em R^4, e seja
U=[(2,1,3-4),(1,2,0,1)].
Calcule projeção de x sobre U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção do vetor x = (1, -2, 1, 6) no subespaço U de R^4, que é gerado pelos vetores (2,1,3,-4) e (1,2,0,1). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a projeção de um vetor em um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que geram o subespaço U. Temos:
u1 = 2 1 3 -4 , u2 = 1 2 0 1
A projeção de x em U pode ser escrita como uma combinação linear desses vetores:
ProjU(x) = au1 + bu2
onde a e b são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar a e b, vamos montar um sistema de equações. A diferença entre x e sua projeção deve ser ortogonal a todo vetor em U. Isso nos dá as seguintes equações:
(x - (au1 + bu2)) cdot u1 = 0
(x - (au1 + bu2)) cdot u2 = 0
Essas equações garantem que o erro está perpendicular a U.

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares. Primeiro, calculemos u1 cdot u1, u1 cdot u2, u2 cdot u2, x cdot u1, e x cdot u2:
u1 cdot u1 = 2^2 + 1^2 + 3^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 9 + 16 = 30
u1 cdot u2 = 2*1 + 1*2 + 3*0 + (-4)*1 = 2 + 2 + 0 -4 = 0
u2 cdot u2 = 1^2 + 2^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 4 + 0 + 1 = 6
x cdot u1 = 1*2 + (-2)*1 + 1*3 + 6*(-4) = 2 -2 +3 -24 = -21
x cdot u2 = 1*1 + (-2)*2 + 1*0 + 6*1 = 1 -4 +0 +6 = 3

Passo 5

Agora, podemos montar o sistema de equações com os valores calculados:
30a + 0b = -21
0a + 6b = 3
Isso simplifica para:
30a = -21 6b = 3

Passo 6

Vamos resolver para a e b:
a = -2130 = -710
b = 36 = 12

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores de a e b na expressão da projeção:
ProjU(x) = (-710) 2 1 3 -4 + (12) 1 2 0 1
Calculando cada componente:
ProjU(x) = -1410 + 12 -710 + 1 -2110 + 0 2810 + 12 = -1410 + 510 -710 + 1010 -2110 2810 + 510 = -910 310 -2110 3310

Resposta

A projeção de x sobre U é:
ProjU(x) = (-910, 310, -2110, 3310)

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