Sejam x e y vetores linearmente independentes em . Se , o que, se for o caso, podemos concluir sobre os valores possíveis de ?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois vetores e que são linearmente independentes no espaço . Sabemos que a norma de é 2 () e a norma de é 3 (). Nosso objetivo é descobrir quais são os valores possíveis para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Em , isso quer dizer que nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro. Ou seja, eles não estão na mesma direção.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto interno |x^top y| <= |x| cdot |y| . Esse produto mede o quanto dois vetores estão “alinhados”. Se os vetores são paralelos, o produto interno atinge seu valor máximo, que é o produto das normas dos vetores. A fórmula para isso é:
Passo 4
Aplicando os valores que temos:
|x^top y| <= 2 cdot 3 = 6
Isso significa que o valor absoluto do produto interno não pode ser maior que 6.
Passo 5
Como os vetores são linearmente independentes e, portanto, não são paralelos, o produto interno não atinge exatamente 6. Além disso, se os vetores forem perpendiculares, o produto interno será 0, que é o valor mínimo possível.
Passo 6
Portanto, os valores possíveis para estão entre 0 e 6, mas sem incluir exatamente 6.