Sejam x e y vetores linearmente independentes em R^2. Se |x|=2 e|y|=3, o que, se for o caso, podemos concluir sobre os valores possíveis de |x^top y| ?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois vetores e que são linearmente independentes no espaço . Sabemos que a norma de é 2 ( ) e a norma de é 3 ( ). Nosso objetivo é descobrir quais são os valores possíveis para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Em , isso quer dizer que nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro. Ou seja, eles não estão na mesma direção.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto interno |x^top y| <= |x| cdot |y| . Esse produto mede o quanto dois vetores estão “alinhados”. Se os vetores são paralelos, o produto interno atinge seu valor máximo, que é o produto das normas dos vetores. A fórmula para isso é:

Passo 4

Aplicando os valores que temos:
|x^top y| <= 2 cdot 3 = 6
Isso significa que o valor absoluto do produto interno não pode ser maior que 6.

Passo 5

Como os vetores são linearmente independentes e, portanto, não são paralelos, o produto interno não atinge exatamente 6. Além disso, se os vetores forem perpendiculares, o produto interno será 0, que é o valor mínimo possível.

Passo 6

Portanto, os valores possíveis para estão entre 0 e 6, mas sem incluir exatamente 6.

Resposta

Os valores possíveis de estão no intervalo .

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