Sejax}=(1,-2,1,6) em R^4, e seja
U=[(2,1,3-4),(1,2,0,1)].
Mostre que (1,0,2,-3),(4,7,1,2) é outro base ortogonal de U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto (1,0,2,-3), (4,7,1,2) é uma base ortogonal para o subespaço U de R^4. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais, bases e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores estão no subespaço U, se eles são linearmente independentes e se são ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que os vetores (1,0,2,-3) e (4,7,1,2) estão realmente no subespaço U. Sabemos que U é gerado pelos vetores (2,1,3,-4) e (1,2,0,1). Isso significa que qualquer vetor em U pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Para o vetor (1,0,2,-3) estar em U, deve existir escalares a e b tais que:
a(2,1,3,-4) + b(1,2,0,1) = (1,0,2,-3)
Resolvendo isso:
2a + b = 1 (1)
a + 2b = 0 (2)
Resolvendo o sistema, encontramos a = 23 e b = -13. Portanto, (1,0,2,-3) está em U.

Passo 4

Agora, vamos verificar o vetor (4,7,1,2). Precisamos encontrar a e b tal que:
a(2,1,3,-4) + b(1,2,0,1) = (4,7,1,2)
Resolvendo:
2a + b = 4 (1)
a + 2b = 7 (2)
Resolvendo o sistema, temos a = 2 e b = 1. Logo, (4,7,1,2) também está em U.

Passo 5

Com isso, sabemos que ambos os vetores estão em U. Agora, vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se formarem uma base, eles devem ser independentes. Como temos dois vetores em U, que é gerado por dois vetores, basta ver que eles não são múltiplos um do outro, o que é imediato, já que nenhum deles é um múltiplo escalar do outro.

Passo 6

Agora, vamos verificar a ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. O produto interno de (1,0,2,-3) e (4,7,1,2) é:
1 cdot 4 + 0 cdot 7 + 2 cdot 1 + (-3) cdot 2 = 4 + 0 + 2 - 6 = 0
Como o resultado é zero, os vetores são ortogonais.

Resposta

Portanto, (1,0,2,-3), (4,7,1,2) é de fato uma base ortogonal para o subespaço U.

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