Sejax}=(1,-2,1,6) em
, e seja
.
Mostre que
é outro base ortogonal de
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto
é uma base ortogonal para o subespaço
de
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais, bases e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores estão no subespaço
, se eles são linearmente independentes e se são ortogonais entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que os vetores
e
estão realmente no subespaço
. Sabemos que
é gerado pelos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Para o vetor
estar em
, deve existir escalares
e
tais que:
Resolvendo isso:
Resolvendo o sistema, encontramos
e
. Portanto,
está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar o vetor
. Precisamos encontrar
e
tal que:
Resolvendo:
Resolvendo o sistema, temos
e
. Logo,
também está em
.
Passo 5
Com isso, sabemos que ambos os vetores estão em
. Agora, vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se formarem uma base, eles devem ser independentes. Como temos dois vetores em
, que é gerado por dois vetores, basta ver que eles não são múltiplos um do outro, o que é imediato, já que nenhum deles é um múltiplo escalar do outro.
Passo 6
Agora, vamos verificar a ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. O produto interno de
e
é:
Como o resultado é zero, os vetores são ortogonais.
Resposta
Portanto,
é de fato uma base ortogonal para o subespaço
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Existe uma única transformação linear
tal que
?
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Em cada caso encontre
e calcule a
e
.
.