Em cada caso, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) e

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui: resolver a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar o método do fator integrante, que é bem útil pra resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa. Basicamente, a gente vai transformar a equação para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: . No nosso caso, a equação original é , então podemos identificar e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por . Com , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que torna o lado esquerdo da equação a derivada de .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo simplesmente retorna .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
Usando integração por partes para , com e , temos:
E .
Então, a integral total fica:

Passo 7

Agora, igualando os dois lados:
Para resolver , multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 8

Usamos a condição inicial para achar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(b) A parábola de equação fixados, .
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
© A curva que é o gráfico da função .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(d) A curva que é o gráfico da função .