Em cada caso, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b)
e
(b)
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui: resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante, que é bem útil pra resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa. Basicamente, a gente vai transformar a equação para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. No nosso caso, a equação original é
, então podemos identificar
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por
. Com
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que torna o lado esquerdo da equação a derivada de
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplesmente retorna
.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
Usando integração por partes para
, com
e
, temos:
E
.
Então, a integral total fica:
Passo 7
Agora, igualando os dois lados:
Para resolver
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para achar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(b) A parábola de equação fixados,
.
(b) A parábola de equação
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
(b)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
© A curva que é o gráfico da função .
© A curva que é o gráfico da função
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(d) A curva que é o gráfico da função .
(d) A curva que é o gráfico da função