Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Primeiro, vamos ver se essa equação é homogênea. Isso significa que todos os termos da equação têm o mesmo grau quando consideramos e .

Passo 2

Para verificar a homogeneidade, observamos os graus de cada termo:
  • No termo , tem grau 2.
  • No termo , e somam grau 2.
  • No termo , tem grau 2.
Todos os termos têm grau 2, então a equação é homogênea.

Passo 3

Agora, para resolver a equação homogênea, vamos usar a substituição . Isso significa que e, derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:

Passo 5

Simplificando os termos:
Dividindo toda a equação por :

Passo 6

Rearranjando para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, a equação está na forma separável. Podemos reescrever como:

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração à esquerda:
Resolvendo para e :
Então,

Passo 9

Agora, integramos:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos:

Passo 11

Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Lembrando que :

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :

Passo 13

Rearranjando os termos:
Podemos chamar , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .
Calcule.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(b) A parábola de equação fixados, .
Em cada caso, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) e