Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Primeiro, vamos ver se essa equação é homogênea. Isso significa que todos os termos da equação têm o mesmo grau quando consideramos e .
Passo 2
Para verificar a homogeneidade, observamos os graus de cada termo:
No termo , tem grau 2.
No termo , e somam grau 2.
No termo , tem grau 2.
Todos os termos têm grau 2, então a equação é homogênea.
Passo 3
Agora, para resolver a equação homogênea, vamos usar a substituição . Isso significa que e, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Passo 4
Vamos substituir e na equação original:
Passo 5
Simplificando os termos:
Dividindo toda a equação por :
Passo 6
Rearranjando para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Passo 7
Agora, a equação está na forma separável. Podemos reescrever como:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração à esquerda:
Resolvendo para e :
Então,
Passo 9
Agora, integramos:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos:
Passo 11
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo: