Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(d) A curva que é o gráfico da função
.
(d) A curva que é o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever as equações paramétricas para a curva que é o gráfico da função
, onde
pode ser qualquer número real. Isso faz parte do conteúdo de equações paramétricas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma função comum em equações que usam um parâmetro, geralmente representado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas. Em vez de ter
diretamente em função de
, a gente usa um parâmetro
para expressar
e
separadamente. Isso pode facilitar a descrição de curvas e suas orientações.
Passo 3
Para a função
, a gente pode escolher
como sendo o próprio
. Isso simplifica as coisas porque podemos dizer que
. Assim, nosso parâmetro
varia ao longo de todos os números reais, igual ao
.
Passo 4
Agora que temos
, vamos expressar
em termos de
. Como
e
, fica
.
Passo 5
Então, juntando tudo, as equações paramétricas ficam:
onde
.
Passo 6
Sobre a orientação da curva, conforme
aumenta,
também aumenta e
aumenta exponencialmente. Isso significa que a curva vai da esquerda para a direita crescendo rapidamente para cima.
Resposta
As equações paramétricas são:
com
. A orientação da curva é da esquerda para a direita, com
aumentando.
Exercícios relacionados
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
© A curva que é o gráfico da função .
© A curva que é o gráfico da função
Em cada caso, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) e
(b)
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
12. Sólido contido no cone , limitado pela esfera de centro na origem e raio 1.
12. Sólido contido no cone
Calcule a integral tripla da função
, sobre o sólido do
octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
.