Em cada caso, encontre a taxa de variação de em relação a t para o valor dado de t. em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação de em relação a quando . Isso significa que precisamos calcular a derivada de e depois avaliar essa derivada no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas e regras de cálculo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação de uma função é representada pela sua derivada. Então, nosso objetivo é encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

A função que temos é um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos identificar e :
Agora, vamos calcular as derivadas de cada uma:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Somando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :

Resposta

A taxa de variação de em relação a quando é 0.

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Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta.
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Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de .
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