Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar dessas regras para lidar com a função composta e com a divisão dentro dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, temos uma função externa elevada ao quadrado e uma função interna que é um quociente. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se
, então a derivada
. No nosso caso,
e
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, precisamos derivar o quociente
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Vamos derivar cada parte:
Aplicando na regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada do quociente fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 2:
Multiplicando os coeficientes e as frações:
Resposta
A derivada da função é:
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Em cada caso, encontre a taxa de variação de
em relação a t para o valor dado de t.
em
Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de
.