Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva definida por no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando as variáveis estão misturadas de maneira que não dá para isolar facilmente uma em termos da outra.

Passo 2

Primeiro, temos a equação da curva: . Nosso objetivo é encontrar , que representa a inclinação da reta tangente. Como está multiplicando uma potência de , não é fácil isolar . Por isso, a derivação implícita é o caminho certo.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , usamos a regra da cadeia, ou seja, .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas:
Queremos isolar :

Passo 5

Precisamos achar o valor de quando . Voltando à equação original:

Passo 6

Substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de .
Em cada caso, encontre a taxa de variação de em relação a t para o valor dado de t. em
Derive a função dada:
Derive a função dada: