Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva definida por
no ponto onde
. Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando as variáveis estão misturadas de maneira que não dá para isolar facilmente uma em termos da outra.
Passo 2
Primeiro, temos a equação da curva:
. Nosso objetivo é encontrar
, que representa a inclinação da reta tangente. Como
está multiplicando uma potência de
, não é fácil isolar
. Por isso, a derivação implícita é o caminho certo.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia, ou seja,
.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas:
Queremos isolar
:
Passo 5
Precisamos achar o valor de
quando
. Voltando à equação original:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão da derivada:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva
no ponto onde
é
.
Exercícios relacionados
Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de
.
Em cada caso, encontre a taxa de variação de
em relação a t para o valor dado de t.
em
Derive a função dada:
Derive a função dada: