Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente usar a derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente à curva definida pela equação
no ponto onde
. Basicamente, vamos precisar saber como derivar funções que estão misturadas (onde
depende de
) e aplicar essa técnica pra encontrar a inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, quando derivo uma expressão que envolve
, eu vou precisar usar a regra da cadeia porque
é uma função de
. Então, vou diferenciar termo por termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo:
- Para
, usamos a regra do produto: - Para
, também usamos a regra do produto: - A derivada de uma constante, 6, é zero:
- Para
, a derivada é direta: - Para
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo todas as derivadas na equação original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que têm
e os que não têm:
Vamos isolar
:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
quando
. Para isso, primeiro vamos substituir
na equação original para encontrar o valor de
nesse ponto.
Substituindo
na equação original:
Passo 7
Com
e
, vamos substituir esses valores na expressão de
que encontramos:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde
é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, encontre a taxa de variação de
em relação a t para o valor dado de t.
em
Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta.
Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de
.
Derive a função dada: