Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente usar a derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente à curva definida pela equação no ponto onde . Basicamente, vamos precisar saber como derivar funções que estão misturadas (onde depende de ) e aplicar essa técnica pra encontrar a inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, quando derivo uma expressão que envolve , eu vou precisar usar a regra da cadeia porque é uma função de . Então, vou diferenciar termo por termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  2. Para , também usamos a regra do produto:
  3. A derivada de uma constante, 6, é zero:
  4. Para , a derivada é direta:
  5. Para , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo todas as derivadas na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que têm e os que não têm:
Vamos isolar :
Então,

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de quando . Para isso, primeiro vamos substituir na equação original para encontrar o valor de nesse ponto.
Substituindo na equação original:

Passo 7

Com e , vamos substituir esses valores na expressão de que encontramos:

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, encontre a taxa de variação de em relação a t para o valor dado de t. em
Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta.
Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de .
Derive a função dada: