Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de x.
x^2 y - 2 x y^3 + 6 = 2 x + 2 y ; x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente usar a derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente à curva definida pela equação no ponto onde x = 0. Basicamente, vamos precisar saber como derivar funções que estão misturadas (onde y depende de x) e aplicar essa técnica pra encontrar a inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que, quando derivo uma expressão que envolve y, eu vou precisar usar a regra da cadeia porque y é uma função de x. Então, vou diferenciar termo por termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo:
  1. Para x^2 y, usamos a regra do produto:
  2. Para , também usamos a regra do produto:
  3. A derivada de uma constante, 6, é zero:
  4. Para , a derivada é direta:
  5. Para , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo todas as derivadas na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que têm e os que não têm:
Vamos isolar :
Então,

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de quando x = 0. Para isso, primeiro vamos substituir x = 0 na equação original para encontrar o valor de y nesse ponto.
Substituindo x = 0 na equação original:

Passo 7

Com x = 0 e y = 3, vamos substituir esses valores na expressão de que encontramos:

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde x = 0 é .

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