Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
x+y+2 z+3 w=13
x-2 y+z+w=8
3 x+y+z-w=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações com quatro incógnitas: , , e . A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares, onde vamos classificar o tipo de sistema e encontrar as soluções possíveis. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas como substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a resolução:
x + y + 2z + 3w = 13 (Equação 1) x - 2y + z + w = 8 (Equação 2) 3x + y + z - w = 1 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar (x - 2y + z + w) - (x + y + 2z + 3w) = 8 - 13 das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.
Primeiro, subtraímos a Equação 1 da Equação 2:
-3y - z - 2w = -5 (Equação 4)
çã

Passo 4

Agora, eliminamos 3(x + y + 2z + 3w) - (3x + y + z - w) = 3 times 13 - 1 entre as Equações 1 e 3. Multiplicamos a Equação 1 por 3 e depois subtraímos a Equação 3:
3x + 3y + 6z + 9w - 3x - y - z + w = 38
2y + 5z + 10w = 38 (Equação 5)
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e três incógnitas (Equações 4 e 5). Vamos resolver essas equações para expressar -3y - z - 2w = -5 Rightarrow 3y + z = 2w + 5 (Equação 6) e 2y + 5z + 10w = 38 em função de z = 2w + 5 - 3y .
Da Equação 4:
2y + 5(2w + 5 - 3y) + 10w = 38 2y + 10w + 25 - 15y + 10w = 38 -13y + 20w + 25 = 38 -13y + 20w = 13 Rightarrow 13y = 20w - 13 Rightarrow y = 20w - 1313 çã
Da Equação 5:
Vamos substituir da Equação 6 na Equação 5.
Da Equação 6, isolamos :
Substituindo na Equação 5:

Passo 6

Agora que temos z = 2w + 5 - 3y z = 2w + 5 - 3(20w - 1313) z = 2w + 5 - 60w - 3913 z = 26w + 65 - 60w + 3913 z = -34w + 10413 z = -3413w + 8 em termos de , vamos encontrar :

Passo 7

Agora, vamos voltar à Equação 1 para encontrar x + y + 2z + 3w = 13 x = 13 - y - 2z - 3w Substituindo (y) e (z): em termos de x = 13 - 20w - 1313 - 2(-3413w + 8) - 3w x = 13 - 20w - 1313 + 6813w - 16 - 3w x = (13 - 16) + (-20w - 1313 + 6813w - 3w) x = -3 + (-20w + 13 + 68w - 39w13) x = -3 + 13w + 1313 x = -3 + w + 1 x = w - 2 :

Passo 8

Então, temos todas as variáveis em termos de x = w - 2 y = 20w - 1313 z = -3413w + 8 w = w (onde w é um parâmetro real) . O conjunto solução é:
éâ

Resposta

O sistema é indeterminado com infinitas soluções. O conjunto solução é dado por:
x = w - 2 y = dfrac20w - 1313 z = -dfrac3413w + 8 w in R

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2 x+y=3
4 x+y=7
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-x+2 y+z=0
2 x+4 y+6 z=0
Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+y+k z=1
x+k y+z=1
k x+y+z=-2
Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+z=k^2
2 x+y+3 z=-3 k
3 x+y+4 z=-2