Em cada caso encontre U^perp e calcule a dim(U) e dim(U^perp).
U=[(1,1,2,0),(3,-1,2,1),(1,-3,-2,1)] em R^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o complemento ortogonal de , que chamamos de , e também calcular as dimensões de e .
Estamos trabalhando com o espaço e é gerado pelos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal x cdot u = 0 para todo u in U . Ele consiste em todos os vetores x1 + x2 + 2x3 + 0x4 = 0 3x1 - x2 + 2x3 + x4 = 0 x1 - 3x2 - 2x3 + x4 = 0 em que são ortogonais a todo vetor em . Matematicamente, isso significa que:
Como é gerado por três vetores, vamos escrever essas condições como um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz associada a esse sistema:

[
1 & 1 & 2 & 0 3 & -1 & 2 & 1 1 & -3 & -2 & 1 x1 x2 x3 x4 = 0 0 0


]
Para encontrar , precisamos resolver esse sistema linear.

Passo 4

Vamos simplificar esse sistema usando a eliminação de Gauss para chegar na forma escalonada reduzida. Vamos fazer as operações passo a passo.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 1 & 2 & 0 3 & -1 & 2 & 1 1 & -3 & -2 & 1
Agora, vamos eliminar o 1 & 1 & 2 & 0 0 & -4 & -4 & 1 0 & -4 & -4 & 1 das linhas 2 e 3:
  • Linha 2: Linha 2 - 3 * Linha 1 →
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1 →
Nossa matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, então podemos eliminar uma delas:
1 & 1 & 2 & 0 0 & -4 & -4 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Agora, simplificamos a segunda linha dividindo por 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & -14 0 & 0 & 0 & 0 :

Passo 6

Com a matriz em forma escalonada reduzida, podemos expressar as variáveis livres. Observando, x2 + x3 - 14x4 = 0 Rightarrow x2 = -x3 + 14x4 e x1 + x2 + 2x3 = 0 Rightarrow x1 = -x2 - 2x3 = x3 - 14x4 - 2x3 = -x3 - 14x4 são livres, já que não há pivôs nessas colunas.
Vamos expressar e em função de e :
Da segunda linha:
Da primeira linha:

Passo 7

Agora, podemos expressar a solução geral em termos das variáveis livres x1 = -x3 - 14x4 x2 = -x3 + 14x4 x3 = x3 x4 = x4 e x = x3 -1 -1 1 0 + x4 -14 14 0 1 :
Podemos escrever isso como:

Passo 8

Então, U^perp = Span -1 -1 1 0 , -14 14 0 1 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores:

Passo 9

Agora, vamos calcular as dimensões. Sabemos que:
dim(U) + dim(U^perp) = 4
Primeiro, encontramos a dimensão de dim(U^perp) = 2 . Como temos dois vetores que geram dim(U) = 4 - dim(U^perp) = 4 - 2 = 2 e são linearmente independentes, então:
Portanto:

Resposta

O complemento ortogonal U^perp = Span -1 -1 1 0 , -14 14 0 1 é dado por:
dim(U) = 2 e dim(U^perp) = 2
As dimensões são:

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