Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^3 times R^3 R, B((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=x1 x2-2 x1 z2+3 y1 y2-z1 z2, alpha=(1,1,0)(1,0,1),(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a matriz de uma forma bilinear no espaço usando uma base específica . Basicamente, uma forma bilinear é como uma função que pega dois vetores e retorna um número, e a gente quer representar isso numa matriz usando a base que foi dada. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como calcular os valores da forma bilinear para cada par de vetores da base e organizar tudo numa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores da base alpha = v1, v2, v3 = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) . A base é dada por:
v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1), v3 = (0,1,1)
Ou seja:
Esses são os vetores que a gente vai usar para calcular a matriz da forma bilinear.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como a forma bilinear B( (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ) = x1x2 - 2x1z2 + 3y1y2 - z1z2 está definida:
Isso significa que, para cada par de vetores da base, a gente vai substituir os componentes nas posições correspondentes e calcular o valor de .

Passo 4

Vamos calcular v1 = (1,1,0), v1 = (1,1,0) para todos os pares de B(v1, v1) = (1)(1) - 2(1)(0) + 3(1)(1) - (0)(0) = 1 - 0 + 3 - 0 = 4 e v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1) , ou seja, para B(v1, v2) = (1)(1) - 2(1)(1) + 3(1)(0) - (0)(1) = 1 - 2 + 0 - 0 = -1 .
Primeiro, vamos calcular v1 = (1,1,0), v3 = (0,1,1) :
B(v1, v3) = (1)(0) - 2(1)(1) + 3(1)(1) - (0)(1) = 0 - 2 + 3 - 0 = 1
v2 = (1,0,1), v1 = (1,1,0)
Agora, B(v2, v1) = (1)(1) - 2(1)(0) + 3(0)(1) - (1)(0) = 1 - 0 + 0 - 0 = 1 :
v2 = (1,0,1), v2 = (1,0,1)
B(v2, v2) = (1)(1) - 2(1)(1) + 3(0)(0) - (1)(1) = 1 - 2 + 0 - 1 = -2
E v2 = (1,0,1), v3 = (0,1,1) :
B(v2, v3) = (1)(0) - 2(1)(1) + 3(0)(1) - (1)(1) = 0 - 2 + 0 - 1 = -3
v3 = (0,1,1), v1 = (1,1,0)
Vamos continuar com B(v3, v1) = (0)(1) - 2(0)(0) + 3(1)(1) - (1)(0) = 0 - 0 + 3 - 0 = 3 :
v3 = (0,1,1), v2 = (1,0,1)
B(v3, v2) = (0)(1) - 2(0)(1) + 3(1)(0) - (1)(1) = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
Agora, v3 = (0,1,1), v3 = (0,1,1) :
B(v3, v3) = (0)(0) - 2(0)(1) + 3(1)(1) - (1)(1) = 0 - 0 + 3 - 1 = 2
E :
Continuando com :
Agora, :
Finalmente, :

Resposta

A matriz da forma bilinear 4 & -1 & 1 1 & -2 & -3 3 & -1 & 2 na base é:

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