Considere o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a
com produto interno
. Aplicaro processode ortogonalizaçãode Gram-Schmidtpara obter uma base ortogonal a partirde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um espaço de vetores que são polinômios de grau até 3, ou seja,
. Queremos encontrar uma base ortogonal para esse espaço usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, partindo da base
. Para isso, precisamos entender o que é uma base ortogonal e como o processo de Gram-Schmidt funciona. Vamos precisar calcular integrais para determinar os produtos internos dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro polinômio da base original, que é
. Como é o primeiro vetor, ele já estará na nossa base ortogonal. Então, nosso primeiro vetor ortogonal é:
Passo 3
Agora, vamos passar para o segundo polinômio,
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a
. Para isso, usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
Primeiro, calculamos o produto interno
:
Como o produto interno é zero, isso significa que
já é ortogonal a
. Então:
Passo 4
Vamos para o terceiro polinômio,
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a
e
. Usamos novamente Gram-Schmidt:
Calculando os produtos internos:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos ao quarto polinômio,
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a
,
e
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Precisamos calcular
:
Então:
Resposta
A base ortogonal obtida usando o processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
base canônica do
;
Sejax}=(1,-2,1,6) em
, e seja
.
Calcule projeção de sobre
.
Calcule projeção de
Em cada caso encontre
e calcule a
e
.
em
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
.