Considere o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a V=P3 com produto interno lang<= p, qrang<== integral-1^1 p(x) q(x) d x. Aplicaro processode ortogonalizaçãode Gram-Schmidtpara obter uma base ortogonal a partirde 1, x, x^2, x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um espaço de vetores que são polinômios de grau até 3, ou seja, V = P3. Queremos encontrar uma base ortogonal para esse espaço usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, partindo da base 1, x, x^2, x^3. Para isso, precisamos entender o que é uma base ortogonal e como o processo de Gram-Schmidt funciona. Vamos precisar calcular integrais para determinar os produtos internos dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro polinômio da base original, que é v1 = 1. Como é o primeiro vetor, ele já estará na nossa base ortogonal. Então, nosso primeiro vetor ortogonal é:
u1 = v1 = 1

Passo 3

Agora, vamos passar para o segundo polinômio, v2 = x. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a u1. Para isso, usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
u2 = v2 - lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Primeiro, calculamos o produto interno lang<= v2, u1 rang<=:
lang<= x, 1 rang<= = integral-1^1 x cdot 1 , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Como o produto interno é zero, isso significa que v2 já é ortogonal a u1. Então:
u2 = v2 = x

Passo 4

Vamos para o terceiro polinômio, v3 = x^2. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a u1 e u2. Usamos novamente Gram-Schmidt:
u3 = v3 - lang<= v3, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 - lang<= v3, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<= u2
Calculando os produtos internos:
lang<= x^2, 1 rang<= = integral-1^1 x^2 cdot 1 , dx = [ x^33 ]-1^1 = 13 - (-13) = 23
lang<= x^2, x rang<= = integral-1^1 x^2 cdot x , dx = integral-1^1 x^3 , dx = [ x^44 ]-1^1 = 14 - 14 = 0
Então:
u3 = x^2 - 232 cdot 1 - 0 cdot x = x^2 - 13

Passo 5

Finalmente, vamos ao quarto polinômio, v4 = x^3. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a u1, u2 e u3:
u4 = v4 - lang<= v4, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 - lang<= v4, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<= u2 - lang<= v4, u3 rang<=lang<= u3, u3 rang<= u3
Calculando os produtos internos:
lang<= x^3, 1 rang<= = integral-1^1 x^3 cdot 1 , dx = [ x^44 ]-1^1 = 14 - 14 = 0
lang<= x^3, x rang<= = integral-1^1 x^3 cdot x , dx = integral-1^1 x^4 , dx = [ x^55 ]-1^1 = 15 - (-15) = 25
lang<= x^3, x^2 - 13 rang<= = integral-1^1 x^3 ( x^2 - 13 ) , dx = integral-1^1 x^5 - x^33 , dx = 0 - 0 = 0
Então:
u4 = x^3 - 0 cdot 1 - 25lang<= x, x rang<= x - 0 cdot (x^2 - 13)
Precisamos calcular lang<= x, x rang<=:
lang<= x, x rang<= = integral-1^1 x^2 , dx = 23
Então:
u4 = x^3 - 2523 x = x^3 - 35 x

Resposta

A base ortogonal obtida usando o processo de Gram-Schmidt é:
, 1,; x,; x^2 - 13,; x^3 - 35x ,

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