Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^3 times R^3 R, B((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=x1 x2-2 x1 z2+3 y1 y2-z1 z2, alpha= base canônica do R^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz de uma forma bilinear na base canônica do . Para isso, vamos usar a definição da forma bilinear e calcular os valores da matriz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma forma bilinear na base canônica é construída calculando para cada par de vetores da base, onde e são os vetores da base canônica. No , a base canônica é , e .

Passo 3

Vamos calcular cada entrada da matriz:
  1. B((1,0,0), (1,0,0)) = 1 cdot 1 - 2 cdot 1 cdot 0 + 3 cdot 0 cdot 0 - 0 cdot 0 = 1
    B((1,0,0), (0,1,0)) = 1 cdot 0 - 2 cdot 1 cdot 0 + 3 cdot 0 cdot 1 - 0 cdot 0 = 0
  2. B((1,0,0), (0,0,1)) = 1 cdot 0 - 2 cdot 1 cdot 1 + 3 cdot 0 cdot 0 - 0 cdot 1 = -2
    B((0,1,0), (1,0,0)) = 0 cdot 1 - 2 cdot 0 cdot 0 + 3 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 0 = 0
  3. B((0,1,0), (0,1,0)) = 0 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot 0 + 3 cdot 1 cdot 1 - 0 cdot 0 = 3
    B((0,1,0), (0,0,1)) = 0 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot 1 + 3 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 1 = 0
  4. B((0,0,1), (1,0,0)) = 0 cdot 1 - 2 cdot 0 cdot 0 + 3 cdot 0 cdot 0 - 1 cdot 0 = 0
    B((0,0,1), (0,1,0)) = 0 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot 0 + 3 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 0 = 0
  5. B((0,0,1), (0,0,1)) = 0 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot 1 + 3 cdot 0 cdot 0 - 1 cdot 1 = -1

Passo 4

Agora que temos todos os valores, vamos montar a matriz A = B(e1, e1) & B(e1, e2) & B(e1, e3) B(e2, e1) & B(e2, e2) & B(e2, e3) B(e3, e1) & B(e3, e2) & B(e3, e3) = 1 & 0 & -2 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 da forma bilinear na base canônica:

Resposta

A matriz da forma bilinear A = 1 & 0 & -2 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 na base canônica do é:

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