En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(1 + e^x) * y * y' = e^x con y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz: com a condição inicial . Nosso objetivo é achar a solução específica para que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e integrais, basicamente manipulando a equação para isolar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, note que é igual a da derivada de em relação a . Ou seja:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo fica simplesmente . Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:
Então, temos:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo de volta na equação de :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

A velocidade do corpo no ponto de altura máxima é zero instantaneamente.
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(x+1) * y' + y^2 = 0 con y(0) = 1/5
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y * y' * (1 + x^3) = x^2 con y(0) = 2
Para um dado ponto na trajetória, a velocidade tem os mesmos valores, em módulo, na subida e na descida.