En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y * y' * (1 + x^3) = x^2 con y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa encontrar uma solução específica para a equação diferencial dada, que é com a condição inicial . Vamos usar conhecimentos de cálculo, como separação de variáveis e integrais, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. A equação original é:
Vamos isolar :
Isso nos dá uma equação onde as variáveis e estão separadas, o que é ótimo para a próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para preparar a integração. Multiplicamos ambos os lados por e :
Assim, temos uma expressão onde todas as partes de estão de um lado e as partes de do outro, pronta para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo:
No lado direito, precisamos integrar . Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:

Passo 5

Juntando as integrais dos dois lados:
Aqui, é uma constante que engloba e .

Passo 6

Queremos isolar para obter a solução explícita. Multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante para apenas :
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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