En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(x+1) * y' + y^2 = 0 con y(0) = 1/5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1/5. Vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem para encontrar a solução particular.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, temos uma equação onde as variáveis podem ser separadas. Vamos separar y e x para lados opostos da equação:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é :

Passo 5

Podemos simplificar a equação multiplicando por -1:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo x = 0 e na equação:
Como , temos .

Passo 7

Finalmente, substituímos C na equação geral:
Resolvendo para y, obtemos a solução particular:

Resposta

A solução particular é .

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