Encuentra en cada caso la solución
x y' + y = e^x

Passo 1

Então, temos a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e do tipo linear. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear e usar um fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Depois da multiplicação, a equação fica:
No nosso caso:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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