Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + e^(2x) * y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Isso facilita para a próxima etapa, que é separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 5

Primeira integral à esquerda:
Segunda integral à direita:
Aqui, e são constantes de integra��ão.

Passo 6

Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos simplificar as constantes combinando e em uma única constante :

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, invertendo os dois lados para isolar :
Podemos simplificar isso multiplicando numerador e denominador por 2:
Como é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para simplificar a expressão:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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(UFSC) Quanto ao movimento de um corpo lançado verticalmente para cima e submetido somente à ação da gravidade, é correto afirmar que:
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + y^2 sen(x) = 0, com y(0) = 1/2
Encuentra en cada caso la solución
x y' + y = e^x
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(x+1) * y' + y^2 = 0 con y(0) = 1/5