En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = x^3 / y^2 con y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e vamos precisar usar métodos de separação de variáveis para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa separar as variáveis. A ideia é reorganizar a equação de forma que todos os termos que contêm fiquem de um lado e os que contêm fiquem do outro lado. Assim, podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos reescrever a equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados:
Integrando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para em termos de . Multiplicando ambos os lados por 3:
Podemos simplificar a constante combinando em uma nova constante :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados