En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
x · L(x) · y' = y con y(2) = L(4)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução particular da equação diferencial com a condição inicial . Aqui, representa o logaritmo natural de (ou seja, ). Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. Temos:
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados por :

Passo 3

Agora, essa equação está na forma:
onde . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então . A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
No entanto, percebemos que simplificamos de forma inadequada. Retomando, a forma correta após multiplicar pelo fator integrante é:
O que leva à conclusão de que a solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial :
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, substituímos na solução geral:
E isolamos :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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Determine o Domínio das seguintes funções: g(x) = 3 x / (2 x + 5)
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = x^3 / y^2 con y(0) = 2
Determine o Domínio das seguintes funções: f(x) = raiz(-6 - 3x)
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = 1/x * y - 2 * x * y^2 con y(1)=1