En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução particular da equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui,
representa o logaritmo natural de
(ou seja,
). Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. Temos:
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, essa equação está na forma:
onde
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então
. A integral fica:
Seja
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
No entanto, percebemos que simplificamos de forma inadequada. Retomando, a forma correta após multiplicar pelo fator integrante é:
O que leva à conclusão de que a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, substituímos
na solução geral:
E isolamos
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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Determine o Domínio das seguintes funções:
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Determine o Domínio das seguintes funções:
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con