En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve
(a derivada de
em relação a
),
, e a função seno de
. Para resolver isso, vamos usar métodos para equações diferenciais separáveis ou integrais fatorantes, mas nesse caso específico, podemos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
:
Agora, temos a equação na forma:
Queremos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
Isso nos permite integrar os dois lados separadamente, um em termos de
e o outro em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 5
Igualando as integrais:
Podemos simplificar absorvendo as constantes:
onde
é uma constante geral.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, invertendo para encontrar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
na expressão de
:
Portanto, a solução particular da equação diferencial é: