En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + y^2 sen(x) = 0, com y(0) = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve (a derivada de em relação a ), , e a função seno de . Para resolver isso, vamos usar métodos para equações diferenciais separáveis ou integrais fatorantes, mas nesse caso específico, podemos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar :
Agora, temos a equação na forma:
Queremos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
Isso nos permite integrar os dois lados separadamente, um em termos de e o outro em termos de .

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 5

Igualando as integrais:
Podemos simplificar absorvendo as constantes:
onde é uma constante geral.

Passo 6

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, invertendo para encontrar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo na expressão de :
Portanto, a solução particular da equação diferencial é:

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