Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
x . L(x) - y * y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de em relação a . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como manipular equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Assim, temos:
Ou seja:
Isso nos ajuda a deixar a equação pronta para integração.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Dessa forma, conseguimos preparar as duas partes para integrarem separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Aqui, assumimos que representa uma função conhecida que podemos integrar. Se , por exemplo, teríamos:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as integrais, temos:
Aqui, combinamos as constantes de integração em uma só constante .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar, obtemos:
Isso nos dá uma expressão para em termos de .

Passo 7

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral é:
onde é uma constante arbitrária.

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