Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como manipular equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
. Assim, temos:
Ou seja:
Isso nos ajuda a deixar a equação pronta para integração.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Dessa forma, conseguimos preparar as duas partes para integrarem separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Aqui, assumimos que
representa uma função conhecida que podemos integrar. Se
, por exemplo, teríamos:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as integrais, temos:
Aqui, combinamos as constantes de integração em uma só constante
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar, obtemos:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
.
Passo 7
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(FUC-MT) Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
. Sendo
e desprezando
resistência do ar qual será a velocidade do corpo 2,0 s após o lançamento?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(UFSC) Quanto ao movimento de um corpo lançado verticalmente para cima e submetido somente à ação da gravidade, é correto afirmar que: