Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre r'(t), e esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t.
c) r(t) = sen(t) i + cos(t) j, t = pi/4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação vetorial que define uma curva no plano: . Nosso objetivo é:
  1. Esboçar o gráfico dessa curva.
  2. Encontrar a derivada dessa função vetorial, ou seja, .
  3. Desenhar o vetor posição r'(t) e o vetor tangente r(t) para o valor r'(t).
Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente como derivar funções vetoriais e interpretar os vetores resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Aqui, é um vetor posição que nos dá as coordenadas r(t) de um ponto na curva para cada valor de (x, y).
Para esboçar o gráfico da curva, podemos relacionar as componentes t e x:
Sabemos que , então:
y
Isso significa que a curva é um círculo com raio 1, centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t), que nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
A derivada de r(t) em relação a t é:
Então, .

Passo 4

Vamos avaliar r(t) e r'(t) no ponto .
Primeiro, calculamos:
Então, o vetor posição é:
Agora, para a derivada:

Passo 5

Vamos visualizar os vetores no ponto :
  • Vetor posição : Aponta do ponto de origem até o ponto (raiz(2)/2, raiz(2)/2) no círculo.
  • Vetor tangente : Aponta na direção tangente à curva no ponto acima. Como a curva é um círculo, o vetor tangente é perpendicular ao vetor posição.

Resposta

A derivada da função vetorial é . Para , temos:

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