Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre , e esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação vetorial que define uma curva no plano: . Nosso objetivo é:
  1. Esboçar o gráfico dessa curva.
  2. Encontrar a derivada dessa função vetorial, ou seja, .
  3. Desenhar o vetor posição e o vetor tangente para o valor .
Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente como derivar funções vetoriais e interpretar os vetores resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Aqui, é um vetor posição que nos dá as coordenadas de um ponto na curva para cada valor de .
Para esboçar o gráfico da curva, podemos relacionar as componentes e :
Sabemos que , então:
Isso significa que a curva é um círculo com raio 1, centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
A derivada de em relação a é:
Então, .

Passo 4

Vamos avaliar e no ponto .
Primeiro, calculamos:
Então, o vetor posição é:
Agora, para a derivada:

Passo 5

Vamos visualizar os vetores no ponto :
  • Vetor posição : Aponta do ponto de origem até o ponto no círculo.
  • Vetor tangente : Aponta na direção tangente à curva no ponto acima. Como a curva é um círculo, o vetor tangente é perpendicular ao vetor posição.

Resposta

A derivada da função vetorial é . Para , temos:

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Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: e .