Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre
, e esboce o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação vetorial que define uma curva no plano: . Nosso objetivo é:
- Esboçar o gráfico dessa curva.
- Encontrar a derivada dessa função vetorial, ou seja,
. - Desenhar o vetor posição
e o vetor tangente para o valor .
Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente como derivar funções vetoriais e interpretar os vetores resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Aqui,
é um vetor posição que nos dá as coordenadas
de um ponto na curva para cada valor de
.
Para esboçar o gráfico da curva, podemos relacionar as componentes
e
:
Sabemos que , então:
Isso significa que a curva é um círculo com raio 1, centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Então, .
Passo 4
Vamos avaliar
e
no ponto
.
Primeiro, calculamos:
Então, o vetor posição é:
Agora, para a derivada:
Passo 5
Vamos visualizar os vetores no ponto
:
-
Vetor posição
: Aponta do ponto de origem até o ponto no círculo. -
Vetor tangente
: Aponta na direção tangente à curva no ponto acima. Como a curva é um círculo, o vetor tangente é perpendicular ao vetor posição.
Resposta
A derivada da função vetorial é . Para
, temos:
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Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
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Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
e
.