Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a área de uma região no plano que é limitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as curvas que delimitam a região:
-
: Essa é uma parábola que abre para a esquerda. -
e : São linhas horizontais que definem a parte inferior e superior da região. -
: É o eixo , que delimita a parte esquerda da região.
Passo 3
Para encontrar a área, vamos integrar a função que define a curva
em relação a
, entre os limites de
e
. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
de
até
é:
Passo 4
No nosso caso,
e
(já que
é o eixo
). Então, a expressão para a área fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida entre
e
:
Passo 7
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre
, e esboce o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
c) .
c)
Verifique se a função definida por partes
é derivável no ponto de abscissa
. A função é contínua em
?
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
a)
a)