Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: x = 8 + 2y - y^2, y = 1, y = 3 e x = 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a área de uma região no plano que é limitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as curvas que delimitam a região:
  • : Essa é uma parábola que abre para a esquerda.
  • e : São linhas horizontais que definem a parte inferior e superior da região.
  • : É o eixo , que delimita a parte esquerda da região.

Passo 3

Para encontrar a área, vamos integrar a função que define a curva em relação a , entre os limites de e . A fórmula geral para a área entre duas curvas e de até é:

Passo 4

No nosso caso, e (já que é o eixo ). Então, a expressão para a área fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida entre e :

Passo 7

Calculando os valores:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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