Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a área de uma região no plano que é limitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as curvas que delimitam a região:
  • : Essa é uma parábola que abre para a esquerda.
  • e : São linhas horizontais que definem a parte inferior e superior da região.
  • : É o eixo , que delimita a parte esquerda da região.

Passo 3

Para encontrar a área, vamos integrar a função que define a curva em relação a , entre os limites de e . A fórmula geral para a área entre duas curvas e de até é:

Passo 4

No nosso caso, e (já que é o eixo ). Então, a expressão para a área fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida entre e :

Passo 7

Calculando os valores:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre , e esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
c) .
Verifique se a função definida por partes
é derivável no ponto de abscissa . A função é contínua em ?
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
a)