Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto a indicado.
(d) a = 1; f(x) = { 0, se x < 0; [x], se x ≥ 0 }.

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos analisar a função dada e determinar se ela é contínua no ponto a = 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e entender como a função está definida em partes diferentes do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da função:
Aqui, [x] representa a função parte inteira, que retorna o maior número inteiro menor ou igual a x. Por exemplo, , .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico da função:
  • Para : . Isso significa que, para todos os valores de x menores que 0, a função é uma linha horizontal no valor 0.
  • Para x >= 0: . A função parte inteira cria “degraus” no gráfico. Por exemplo:
    • Entre , .
    • Entre , .
    • E assim por diante.
Portanto, o gráfico terá uma linha horizontal no nível 0 para , subir para 1 no ponto x = 1, manter-se no nível 1 até x = 2, e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto a = 1. Para a função ser contínua em x = 1, os seguintes limites devem ser iguais e também iguais a f(1):
  1. Limite pela esquerda ( ):
    • Para x se aproximando de 1 pelo lado esquerdo, .
    • Então, .
  2. Limite pela direita ( ):
    • Para x se aproximando de 1 pelo lado direito, .
    • Então, .
  3. Valor da função em x = 1:
    • .

Resposta

Como o limite pela esquerda ( 0) é diferente do limite pela direita ( 1), a função f(x) apresenta uma descontinuidade no ponto a = 1. Portanto, f(x) não é contínua em x = 1.

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