Calcule os seguintes limites no infinito:
(m) lim x +infty(2 x-raizx^3+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais e radicais. A questão é calcular:
lim x +infty(2 x-raizx^3+3)
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos dentro do limite. Temos um termo linear, , e uma raiz quadrada que envolve , ou seja, . Quando cresce para o infinito, domina o termo constante 3 dentro da raiz.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo:
raizx^3 + 3 approx raizx^3 = x^3/2
Então, a expressão original fica aproximadamente:
2x - x^3/2

Passo 4

Agora, vamos comparar os poderes de nos dois termos:
  • tem potência 1.
  • tem potência .
Como o expoente de é maior que o de , conforme vai para o infinito, cresce muito mais rápido que . Isso significa que a diferença tende a .

Passo 5

Para formalizar, podemos dividir todos os termos por lim x +infty(2xx^3/2 - raizx^3+3x^3/2) = lim x +infty(2x^-1/2 - raiz1 + 3x^3) :
0 - 1 = -1
À medida que tende a infinito, tende a zero e tende a 1. Assim:
Mas como multiplicamos por , o limite geral será .

Resposta

O limite é .

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