Calcule os seguintes limites no infinito:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais e radicais. A questão é calcular:
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos dentro do limite. Temos um termo linear,
, e uma raiz quadrada que envolve
, ou seja,
. Quando
cresce para o infinito,
domina o termo constante 3 dentro da raiz.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo:
Então, a expressão original fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos comparar os poderes de
nos dois termos:
-
tem potência 1. -
tem potência .
Como o expoente de
é maior que o de
, conforme
vai para o infinito,
cresce muito mais rápido que
. Isso significa que a diferença
tende a
.
Passo 5
Para formalizar, podemos dividir todos os termos por
:
À medida que
tende a infinito,
tende a zero e
tende a 1. Assim:
Mas como multiplicamos por
, o limite geral será
.
Resposta
O limite é
.