Existe um número real capaz de fazer com que exista?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe pede para a gente descobrir se existe um número real que faz o limite existir. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar analisar os comportamentos desses polinômios próximos a e garantir que não tenhamos uma divisão por zero que não seja compensada no numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o denominador da nossa expressão: . Para entender o que acontece quando se aproxima de , precisamos ver se o denominador se anula nesse ponto, ou seja, se é raiz do denominador.
Vamos substituir no denominador:
Então, o denominador é zero quando . Isso significa que se o numerador também for zero nesse ponto, poderemos ter um limite existente (já que a indeterminação pode ser resolvida).

Passo 3

Agora, vamos verificar o numerador: . Substituindo :
Para que o numerador seja zero quando , precisamos que:

Passo 4

Com , tanto o numerador quanto o denominador se anulam em , formando uma indeterminação do tipo . Isso nos permite simplificar a expressão. Para simplificar, vamos fatorar o denominador e o numerador.
Primeiro, fatoramos o denominador :
Agora, com , o numerador se torna:

Passo 5

Substituindo os fatores na expressão original:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

Sim, existe um número real que faz com que o limite exista, e o valor do limite é .

Exercícios relacionados

Considere a função definida por: . Mostre que não existe um número no intervalo tal que . Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
(d) .
Quais das seguintes afirmações sobre a função ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto em .
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
(a)