Existe um número real alpha capaz de fazer com que lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2 exista?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe pede para a gente descobrir se existe um número real alpha que faz o limite lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2 existir. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar analisar os comportamentos desses polinômios próximos a x = -2 e garantir que não tenhamos uma divisão por zero que não seja compensada no numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o denominador da nossa expressão: x^2 + x - 2. Para entender o que acontece quando x se aproxima de -2, precisamos ver se o denominador se anula nesse ponto, ou seja, se -2 é raiz do denominador.
Vamos substituir x = -2 no denominador:
(-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
Então, o denominador é zero quando x = -2. Isso significa que se o numerador também for zero nesse ponto, poderemos ter um limite existente (já que a indeterminação 0/0 pode ser resolvida).

Passo 3

Agora, vamos verificar o numerador: 3x^2 + alpha x + alpha + 3. Substituindo x = -2:
3(-2)^2 + alpha(-2) + alpha + 3 = 3(4) - 2alpha + alpha + 3 = 12 - alpha + 3 = 15 - alpha
Para que o numerador seja zero quando x = -2, precisamos que:
15 - alpha = 0 Rightarrow alpha = 15

Passo 4

Com alpha = 15, tanto o numerador quanto o denominador se anulam em x = -2, formando uma indeterminação do tipo 0/0. Isso nos permite simplificar a expressão. Para simplificar, vamos fatorar o denominador e o numerador.
Primeiro, fatoramos o denominador x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Agora, com alpha = 15, o numerador se torna:
3x^2 + 15x + 15 + 3 = 3x^2 + 15x + 18 = 3(x^2 + 5x + 6) = 3(x + 2)(x + 3)

Passo 5

Substituindo os fatores na expressão original:
3(x + 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) = 3(x + 3)x - 1 para x neq -2
Agora, podemos calcular o limite substituindo x = -2:
lim x -2 3(x + 3)x - 1 = 3(-2 + 3)-2 - 1 = 3(1)-3 = -1

Resposta

Sim, existe um número real alpha = 15 que faz com que o limite lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2 exista, e o valor do limite é -1.

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