Existe um número real
capaz de fazer com que
exista?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe pede para a gente descobrir se existe um número real
que faz o limite
existir. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar analisar os comportamentos desses polinômios próximos a
e garantir que não tenhamos uma divisão por zero que não seja compensada no numerador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o denominador da nossa expressão:
. Para entender o que acontece quando
se aproxima de
, precisamos ver se o denominador se anula nesse ponto, ou seja, se
é raiz do denominador.
Vamos substituir
no denominador:
Então, o denominador é zero quando
. Isso significa que se o numerador também for zero nesse ponto, poderemos ter um limite existente (já que a indeterminação
pode ser resolvida).
Passo 3
Agora, vamos verificar o numerador:
. Substituindo
:
Para que o numerador seja zero quando
, precisamos que:
Passo 4
Com
, tanto o numerador quanto o denominador se anulam em
, formando uma indeterminação do tipo
. Isso nos permite simplificar a expressão. Para simplificar, vamos fatorar o denominador e o numerador.
Primeiro, fatoramos o denominador
:
Agora, com
, o numerador se torna:
Passo 5
Substituindo os fatores na expressão original:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
Sim, existe um número real
que faz com que o limite
exista, e o valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por:
. Mostre que não existe um número
no intervalo
tal que
. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
(d) .
(d)
Quais das seguintes afirmações sobre a função
ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto
em
.
(f)
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
(a)
(a)