Considere a função
definida por:
. Mostre que não existe um número
no intervalo
tal que
. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de funções definidas por partes. A função dada é:
Queremos mostrar que não existe nenhum número
no intervalo
tal que
. Além disso, vamos verificar se isso contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma função definida por partes e aplicar conceitos do Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para ver se
pode ser igual a zero em algum ponto.
Para
, temos:
Vamos ver se existe algum
nesse intervalo que satisfaz
.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
No conjunto dos números reais, o quadrado de um número não pode ser negativo. Portanto, não existe nenhum
real que satisfaça essa equação. Assim, para
,
nunca é zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte da função para
:
Vamos verificar se existe algum
nesse intervalo que satisfaz
.
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Novamente, no conjunto dos números reais, não existe nenhum
que satisfaça
. Portanto, para
,
também nunca é zero.
Passo 6
Como analisamos ambas as partes da função e vimos que não existe nenhum
em
que faz
, concluímos que não existe tal
no intervalo dado.
Quanto ao Teorema do Valor Intermediário, ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
. No nosso caso, a função
não é contínua em todo o intervalo
devido à descontinuidade em
. Portanto, o corolário do Teorema do Valor Intermediário não se aplica aqui.
Resposta
Não existe nenhum número
no intervalo
tal que
. Isso não contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário porque a função não é contínua em todo o intervalo considerado.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
(d) .
(d)
Uma função
é contínua no ponto
de seu domínio quando tiver limite no ponto
e, além disso,
. Quando
não for contínua no ponto
, diremos que
é descontínua em
e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
Existe um número real
capaz de fazer com que
exista?
Quais das seguintes afirmações sobre a função
ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto
em
.
(f)