Considere a função f definida por: f(x) = { x^2 + 2, se -2 <= x < 0; -x^2 - 2, se 0 <= x <= 2 }. Mostre que não existe um número alpha no intervalo [-2, 2] tal que f(alpha) = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de funções definidas por partes. A função dada é:
Queremos mostrar que não existe nenhum número alpha no intervalo tal que . Além disso, vamos verificar se isso contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma função definida por partes e aplicar conceitos do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para ver se f(x) pode ser igual a zero em algum ponto.
Para , temos:
Vamos ver se existe algum x nesse intervalo que satisfaz .

Passo 3

Resolvendo a equação :
No conjunto dos números reais, o quadrado de um número não pode ser negativo. Portanto, não existe nenhum x real que satisfaça essa equação. Assim, para , f(x) nunca é zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função para 0 <= x <= 2:
Vamos verificar se existe algum x nesse intervalo que satisfaz .

Passo 5

Resolvendo a equação :
Novamente, no conjunto dos números reais, não existe nenhum x que satisfaça . Portanto, para 0 <= x <= 2, f(x) também nunca é zero.

Passo 6

Como analisamos ambas as partes da função e vimos que não existe nenhum x em que faz , concluímos que não existe tal alpha no intervalo dado.
Quanto ao Teorema do Valor Intermediário, ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e N é um número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um alpha em [a, b] tal que . No nosso caso, a função f(x) não é contínua em todo o intervalo devido à descontinuidade em x = 0. Portanto, o corolário do Teorema do Valor Intermediário não se aplica aqui.

Resposta

Não existe nenhum número alpha no intervalo tal que . Isso não contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário porque a função não é contínua em todo o intervalo considerado.

Exercícios relacionados