Considere a função definida por: . Mostre que não existe um número no intervalo tal que . Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de funções definidas por partes. A função dada é:
Queremos mostrar que não existe nenhum número no intervalo tal que . Além disso, vamos verificar se isso contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma função definida por partes e aplicar conceitos do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para ver se pode ser igual a zero em algum ponto.
Para , temos:
Vamos ver se existe algum nesse intervalo que satisfaz .

Passo 3

Resolvendo a equação :
No conjunto dos números reais, o quadrado de um número não pode ser negativo. Portanto, não existe nenhum real que satisfaça essa equação. Assim, para , nunca é zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função para :
Vamos verificar se existe algum nesse intervalo que satisfaz .

Passo 5

Resolvendo a equação :
Novamente, no conjunto dos números reais, não existe nenhum que satisfaça . Portanto, para , também nunca é zero.

Passo 6

Como analisamos ambas as partes da função e vimos que não existe nenhum em que faz , concluímos que não existe tal no intervalo dado.
Quanto ao Teorema do Valor Intermediário, ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que . No nosso caso, a função não é contínua em todo o intervalo devido à descontinuidade em . Portanto, o corolário do Teorema do Valor Intermediário não se aplica aqui.

Resposta

Não existe nenhum número no intervalo tal que . Isso não contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário porque a função não é contínua em todo o intervalo considerado.

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
(d) .
Uma função é contínua no ponto de seu domínio quando tiver limite no ponto e, além disso, . Quando não for contínua no ponto , diremos que é descontínua em e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
Existe um número real capaz de fazer com que exista?
Quais das seguintes afirmações sobre a função ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto em .