Uma função y=f(x) é contínua no ponto x0 de seu domínio quando tiver limite no ponto x0 e, além disso, lim x x0 f(x)=f(x0). Quando f(x) não for contínua no ponto x0, diremos que f é descontínua em x0 e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre continuidade de funções. Continuidadede uma função num ponto significa que a função não tem “saltos” ou “quebras” nesse ponto. Para isso, a função precisa ter um limite quando se aproxima de e esse limite tem que ser igual ao valor da função em . Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua em . Então, vamos usar essas ideias para entender quando uma função é descontínua.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é limite. O limite de quando se aproxima de é o valor que está se aproximando à medida que chega perto de . Se esse limite existir e for igual a , então a função é contínua em .

Passo 3

Agora, para a função ser descontínua em , pelo menos uma das seguintes coisas precisa acontecer:
  1. O limite de quando se aproxima de não existe. Isso pode acontecer se, por exemplo, se comporta de maneira diferente quando se aproxima de pela esquerda e pela direita.
  2. O limite existe, mas não é igual a . Ou seja, mesmo que tenha um limite quando se aproxima de , se esse limite for diferente do valor real da função nesse ponto, a função tem uma descontinuidade.

Passo 4

Vamos detalhar cada uma dessas condições:
  • Limite não existe: Imagine que à medida que se aproxima de , vai para de um lado e para do outro. Nesse caso, o limite não existe porque não há um valor específico que está se aproximando.
  • Limite diferente de : Pense que , mas com . Mesmo que exista, se for diferente de , temos uma descontinuidade.

Passo 5

Resumindo, para identificar se uma função é descontínua em um ponto , você deve:
  1. Calcular o limite de quando se aproxima de .
  2. Verificar se esse limite é igual a .
  • Se o limite não existir, a função é descontínua.
  • Se o limite existir, mas for diferente de , a função também é descontínua.

Resposta

Então, a função é descontínua em se:
  1. não existir.
  2. .

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