Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos o gráfico da função e dizer se ela é contínua no ponto . Estamos lidando com funções definidas por partes, onde a função tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como analisar cada pedaço da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui, a função muda de expressão quando passa de 1. Para desenhar o gráfico, vamos olhar cada pedaço separadamente.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico para :
Isso é uma parábola que abre para cima. Sabemos que quando , . Então, no intervalo , a curva começa do ponto (0,0) e sobe até , onde .

Passo 4

Agora, vamos desenhar para :
Essa é uma linha reta com inclinação negativa. Quando , . Então, a reta começa do ponto (1,1) e desce à medida que aumenta.

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Vamos calcular:
E os limites à esquerda e à direita de 0 também serão baseados em , já que estamos próximos de 0 e :
Como os limites são iguais e iguais a , a função é contínua em 0.

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Quais das seguintes afirmações sobre a função ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto em .
Existe um número real capaz de fazer com que exista?
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
©
Seja a função cujo gráfico encontra-se esboçado abaixo.
(f) é contínua no ponto ?