Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos o gráfico da função
e dizer se ela é contínua no ponto
. Estamos lidando com funções definidas por partes, onde a função tem expressões diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como analisar cada pedaço da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui, a função muda de expressão quando
passa de 1. Para desenhar o gráfico, vamos olhar cada pedaço separadamente.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico para
:
Isso é uma parábola que abre para cima. Sabemos que quando
,
. Então, no intervalo
, a curva começa do ponto (0,0) e sobe até
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos desenhar para
:
Essa é uma linha reta com inclinação negativa. Quando
,
. Então, a reta começa do ponto (1,1) e desce à medida que
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Vamos calcular:
E os limites à esquerda e à direita de 0 também serão baseados em
, já que estamos próximos de 0 e
:
Como os limites são iguais e iguais a
, a função é contínua em 0.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Quais das seguintes afirmações sobre a função
ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto
em
.
(f)
Existe um número real
capaz de fazer com que
exista?
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
©
©
Seja
a função cujo gráfico encontra-se esboçado abaixo.
(f) é contínua no ponto
?
(f)