Quais das seguintes afirmações sobre a função y=f(x) ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) lim x a f(x) existe no ponto a em (-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação "(f) lim x a f(x) existe no ponto a em (-1,1)" é verdadeira ou falsa para a função y = f(x) que está ilustrada. A matéria aqui é sobre limites de funções, e para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa o limite existir em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando x se aproxima de um ponto a. O limite lim x a f(x) existe se, quando a gente se aproxima de a por valores menores que a (pela esquerda) e por valores maiores que a (pela direita), a função f(x) se aproxima do mesmo valor.
Matematicamente, isso significa que:
lim x a^- f(x) = lim x a^+ f(x) = L
Onde L é o valor para o qual a função está se aproximando.

Passo 3

Agora, olhando para a afirmação “(f)”, ela diz que o limite existe no ponto a que está dentro do intervalo (-1,1). Para saber se isso é verdade, a gente precisa analisar o comportamento da função f(x) perto desse ponto a.
Como a função foi ilustrada, vamos considerar que ela está bem comportada dentro desse intervalo, ou seja, não tem quebras, saltos ou assíntotas que possam impedir que o limite exista.

Passo 4

Se a função f(x) é contínua no intervalo (-1,1), então para qualquer ponto a nesse intervalo, o limite lim x a f(x) existe e é igual ao próprio valor da função em a, ou seja,
lim x a f(x) = f(a)
Isso significa que a função não tem nenhuma “bagunça” naquele ponto, e por isso o limite existe.

Passo 5

Entretanto, se houver algum ponto a em (-1,1) onde a função apresenta um salto, uma descontinuidade removível ou uma assíntota, então o limite pode não existir nesse ponto.
Sem a ilustração específica da função, vamos assumir que a função é contínua no intervalo dado.

Resposta

A afirmação "(f) lim x a f(x) existe no ponto a em (-1,1)" é verdadeira, assumindo que a função f(x) é contínua no intervalo (-1,1).

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