Quais das seguintes afirmações sobre a função ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f) existe no ponto em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação "(f) existe no ponto em " é verdadeira ou falsa para a função que está ilustrada. A matéria aqui é sobre limites de funções, e para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa o limite existir em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando se aproxima de um ponto . O limite existe se, quando a gente se aproxima de por valores menores que (pela esquerda) e por valores maiores que (pela direita), a função se aproxima do mesmo valor.
Matematicamente, isso significa que:
Onde é o valor para o qual a função está se aproximando.

Passo 3

Agora, olhando para a afirmação “(f)”, ela diz que o limite existe no ponto que está dentro do intervalo . Para saber se isso é verdade, a gente precisa analisar o comportamento da função perto desse ponto .
Como a função foi ilustrada, vamos considerar que ela está bem comportada dentro desse intervalo, ou seja, não tem quebras, saltos ou assíntotas que possam impedir que o limite exista.

Passo 4

Se a função é contínua no intervalo , então para qualquer ponto nesse intervalo, o limite existe e é igual ao próprio valor da função em , ou seja,
Isso significa que a função não tem nenhuma “bagunça” naquele ponto, e por isso o limite existe.

Passo 5

Entretanto, se houver algum ponto em onde a função apresenta um salto, uma descontinuidade removível ou uma assíntota, então o limite pode não existir nesse ponto.
Sem a ilustração específica da função, vamos assumir que a função é contínua no intervalo dado.

Resposta

A afirmação "(f) existe no ponto em " é verdadeira, assumindo que a função é contínua no intervalo .

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