Quais das seguintes afirmações sobre a função
ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?
(f)
existe no ponto
em
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação "(f)
existe no ponto
em
" é verdadeira ou falsa para a função
que está ilustrada. A matéria aqui é sobre limites de funções, e para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa o limite existir em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando
se aproxima de um ponto
. O limite
existe se, quando a gente se aproxima de
por valores menores que
(pela esquerda) e por valores maiores que
(pela direita), a função
se aproxima do mesmo valor.
Matematicamente, isso significa que:
Onde
é o valor para o qual a função está se aproximando.
Passo 3
Agora, olhando para a afirmação “(f)”, ela diz que o limite existe no ponto
que está dentro do intervalo
. Para saber se isso é verdade, a gente precisa analisar o comportamento da função
perto desse ponto
.
Como a função foi ilustrada, vamos considerar que ela está bem comportada dentro desse intervalo, ou seja, não tem quebras, saltos ou assíntotas que possam impedir que o limite exista.
Passo 4
Se a função
é contínua no intervalo
, então para qualquer ponto
nesse intervalo, o limite
existe e é igual ao próprio valor da função em
, ou seja,
Isso significa que a função não tem nenhuma “bagunça” naquele ponto, e por isso o limite existe.
Passo 5
Entretanto, se houver algum ponto
em
onde a função apresenta um salto, uma descontinuidade removível ou uma assíntota, então o limite pode não existir nesse ponto.
Sem a ilustração específica da função, vamos assumir que a função é contínua no intervalo dado.
Resposta
A afirmação "(f)
existe no ponto
em
" é verdadeira, assumindo que a função
é contínua no intervalo
.
Exercícios relacionados
Existe um número real
capaz de fazer com que
exista?
Considere a função
definida por:
. Mostre que não existe um número
no intervalo
tal que
. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário?
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
(a)
(a)
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto
indicado.
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