Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por 2 y=x^2 e y=x ; f=x(x^2+y^2)^-1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região integral duplaD f(x, y) , dx , dy delimitada pelas curvas e . Além disso, precisamos calcular a integral dupla:
onde .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de integração dupla, mudança de variáveis (provavelmente para coordenadas polares, já que a função envolve ), e entender como determinar os limites de integração a partir do esboço da região .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região 2y = x^2 2x = x^2 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 . As curvas que delimitam são:
  1. — que é uma parábola aberta para cima.
  2. — que é uma reta inclinada de 45 graus.
Para encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas, igualamos:
Assim, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para 0 <= x <= 2 x^22 <= y <= x e . Observando as curvas e os pontos de interseção, percebemos que:
  • Para varia de 0 a 2.
  • Para cada nesse intervalo, varia da parábola até a reta .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

Vamos agora escrever a integral dupla com esses limites:
integral0^2 integralx^22^x xx^2 + y^2 , dy , dx
A função a ser integrada é . Observando a presença de , é conveniente fazer uma mudança para coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a expressão da função e a área de integração.

Passo 5

A mudança para coordenadas polares envolve também a alteração do elemento de área para . Além disso, precisamos determinar como a região se transforma em coordenadas polares.
Vamos entender os limites em termos de e :
  • A reta corresponde a .
  • A parábola em coordenadas polares fica , ou seja, .
O raio varia de 0 até , e o ângulo varia de 0 a .

Passo 6

Agora, expressamos a integral em coordenadas polares:
integral0^pi4 integral0^2 sin thetacos^2 theta r cos thetar^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^pi4 integral0^2 sin thetacos^2 theta r cos thetar^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^2 sin thetacos^2 theta cos theta , dr , dtheta

Passo 7

Integrando em relação a integral0^pi4 [ cos theta cdot r ]0^2 sin thetacos^2 theta , dtheta = integral0^pi4 cos theta cdot 2 sin thetacos^2 theta , dtheta = integral0^pi4 2 sin thetacos theta , dtheta :
2 integral0^pi4 tan theta , dtheta
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando 2 integral0^pi4 tan theta , dtheta = 2 [ -ln |cos theta| ]0^pi4 = 2 ( -ln cos pi4 + ln cos 0 ) :
2 ( -ln raiz22 + ln 1 ) = 2 ( -( ln raiz2 - ln 2 ) + 0 ) = 2 ( -12 ln 2 + ln 2 ) = 2 ( 12 ln 2 ) = ln 2
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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