Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e verificar o raio de convergência.
Passo 2
Uma série geométrica tem a forma:
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. No nosso caso, (quando ) e .
Passo 3
Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Vamos calcular :
Como , a série geométrica converge.
Passo 4
Além disso, como o termo geral da série envolve , que já está em valor absoluto, a convergência é absoluta. Isso significa que a série também converge quando consideramos apenas os valores absolutos dos termos.