Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
sumn=0^infty (-2)^n5^n

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=0^infty (-2)^n5^n
Queremos determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e verificar o raio de convergência.

Passo 2

Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. No nosso caso, (quando ) e .

Passo 3

Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão |r| < 1 deve ser menor que 1:
|r| = | -25 | = 25 = 0,4
Vamos calcular :
Como , a série geométrica converge.

Passo 4

Além disso, como o termo geral da série envolve , que já está em valor absoluto, a convergência é absoluta. Isso significa que a série também converge quando consideramos apenas os valores absolutos dos termos.

Resposta

A série
sumn=0^infty (-2)^n5^n
é absolutamente convergente.

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