Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Então, vamos resolver uma integral dupla onde a região
é delimitada pelas curvas
,
e
. A função que vamos integrar é
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como determinar os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A curva
é uma parábola que abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha horizontal. Então, a região
está entre a parábola
, o eixo
e a linha
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando que
varia de 0 a 1, e para cada
fixo,
varia de 0 até
. Então, podemos configurar a integral dupla com
indo de 0 a 1 e
indo de 0 a
.
Passo 4
A integral dupla fica assim:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui, usamos a substituição
, e lembramos que
.
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.
Passo 7
Primeiro, resolvemos
. Para isso, usamos a integração por partes, onde
e
. Então,
e
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
Agora, resolvemos
:
Passo 9
Subtraindo os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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