Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y^2=x, x=0 e y=1 ; f=exp (x / y).

Passo 1

Então, vamos resolver uma integral dupla onde a região é delimitada pelas curvas , e . A função que vamos integrar é . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma linha horizontal. Então, a região está entre a parábola , o eixo e a linha .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando que varia de 0 a 1, e para cada fixo, varia de 0 até . Então, podemos configurar a integral dupla com indo de 0 a 1 e indo de 0 a .

Passo 4

A integral dupla fica assim:
integral duplaD e^x/y , dx , dy = integral0^1 ( integral0^y^2 e^x/y , dx ) dy
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 5

Integrando integral0^y^2 e^x/y , dx = y [ e^x/y ]0^y^2 = y ( e^y - e^0 ) = y(e^y - 1) em relação a :
Aqui, usamos a substituição , e lembramos que .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 y(e^y - 1) , dy = integral0^1 y e^y , dy - integral0^1 y , dy
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Passo 7

Primeiro, resolvemos integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C . Para isso, usamos a integração por partes, onde (1 cdot e^1 - e^1) - (0 - e^0) = (e - e) - (-1) = 1 e . Então, e :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Agora, resolvemos integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12 :

Passo 9

Subtraindo os resultados das duas integrais:
1 - 12 = 12

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por 8 y=x^3, y=-x e 4 x+y=9 ; f=x.
Encontre o raio de convergência e o conjunto de convergência da série
sumn=1^infty (x+2)^n(2 n+1) cdot 3^n
Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
sumn=0^infty (-2)^n5^n
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por 2 y=x^2 e y=x ; f=x(x^2+y^2)^-1.