Encontre a série de Taylor de
em uma vizinhança do ponto
, escrevendo os primeiros quatro termos da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Taylor da função
ao redor do ponto
. Isso significa que vamos precisar usar os conceitos de série de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções de forma polinomial perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Vamos calcular as derivadas necessárias de
e avaliá-las em
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
-
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
: -
Terceira derivada:Avaliando em
:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
, com os quatro primeiros termos, é:
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Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
Um saltador de penhasco se lança de uma altura de 30 m com relação à superfície da água. A distância percorrida pelo saltador em
segundo de sua queda é dada pela função
.
(a) Depois de quantos segundos o saltador atinge a água? (b) Com que velocidade o saltador atinge a água?
(a) Depois de quantos segundos o saltador atinge a água? (b) Com que velocidade o saltador atinge a água?
Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
.