Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região do 1 ^circ quadrante delimitada por x^2+y^2=1 ; f=raiz1-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante, que está limitada pela circunferência . Além disso, a função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando trabalhamos com círculos.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região . Como está no primeiro quadrante e limitada por , a região é um quarto de círculo com raio 1, onde e são positivos.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que e . A equação da circunferência fica simplesmente em coordenadas polares.

Passo 4

Na integral dupla, integral duplaD raiz1 - r^2 , r , dr , dtheta se transforma em nas coordenadas polares. Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, varia de a , e varia de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r raiz1 - r^2 , dr :
-12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 |0^1 = 13
Fazendo a substituição , , então . A integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 13 , dtheta = 13 cdot pi2 = pi6 :

Resposta

A integral dupla vale .

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