Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
é a região do quadrante delimitada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante, que está limitada pela circunferência . Além disso, a função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando trabalhamos com círculos.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região . Como está no primeiro quadrante e limitada por , a região é um quarto de círculo com raio 1, onde e são positivos.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que e . A equação da circunferência fica simplesmente em coordenadas polares.
Passo 4
Na integral dupla, se transforma em nas coordenadas polares. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, varia de a , e varia de a .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , então . A integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^pi2 13 , dtheta = 13 cdot pi2 = pi6 :