Verifique as igualdades: (1 + i raiz(3))^(-10) = 2^(-11) * (-1 + i raiz(3));

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão e queremos verificar se ela é igual a . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a propriedade de potências de números complexos.

Passo 2

Vamos começar representando o número complexo na forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde:
  • é o módulo do número complexo.
  • é o argumento (ou ângulo).
Para :

  • Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos elevar à potência . Usando a forma polar, elevamos o módulo à potência e multiplicamos o argumento pela potência:
Simplificando o argumento:
Como as funções trigonométricas são periódicas com período , podemos adicionar para simplificar:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular as funções trigonométricas:
Portanto,

Resposta

A igualdade está correta.

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