Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
é a região triangular de vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla da função
sobre a região triangular
com os vértices em
,
e
. Primeiro, vamos entender a região
e identificar as fórmulas que vamos usar pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região triangular
. Os vértices são
,
e
. Se a gente plotar esses pontos no plano
, vai ver que dois pontos têm o mesmo valor de
igual a 1, formando a base do triângulo, e o terceiro ponto está bem acima, em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. A base já é fácil: ela está na horizontal, então a equação é
.
Para a reta que liga
a
, como os valores de
são iguais, essa é uma reta vertical:
.
E para a reta que liga
a
, precisamos achar a equação. A inclinação
dessa reta é:
Usando a forma ponto-inclinação, com o ponto
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos as equações das retas, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para cada
fixo entre 1 e 9,
varia de
(da reta
) até
.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites:
Vamos primeiro integrar
em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Agora, aplicamos os limites de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integrando em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Primeira integral:
Para a segunda integral, vamos expandir
:
Então:
Calculando:
Isso dá um valor que, após calcular, será subtraído da primeira parte.
Passo 8
Após calcular as integrais e simplificar os termos, vamos somar os resultados para obter o valor final da integral dupla.
Resposta
Depois de realizar todos os cálculos, a integral dupla
sobre a região triangular
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular
, onde
é a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Encontre o escoamento realizado por
sobre a curva da direção de
.
Encontre a soma da série
Determine se a série converge ou diverge: