Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região triangular de vértices (2,9),(2,1) e (-2,1) ; f=x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla da função sobre a região triangular com os vértices em , e . Primeiro, vamos entender a região e identificar as fórmulas que vamos usar pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região triangular . Os vértices são , e . Se a gente plotar esses pontos no plano , vai ver que dois pontos têm o mesmo valor de igual a 1, formando a base do triângulo, e o terceiro ponto está bem acima, em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. A base já é fácil: ela está na horizontal, então a equação é m = 9 - 12 - (-2) = 84 = 2 .
Para a reta que liga y - 1 = 2(x + 2) a y = 2x + 5 , como os valores de são iguais, essa é uma reta vertical: .
E para a reta que liga a , precisamos achar a equação. A inclinação dessa reta é:
Usando a forma ponto-inclinação, com o ponto :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos as equações das retas, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a 1 <= y <= 9 e depois em relação a -y - 52 <= x <= 2 .
Para cada fixo entre 1 e 9, varia de (da reta ) até .
Então, os limites são:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites:
integral duplaD x y^2 , dx , dy = integral1^9 integral -y - 52 ^2 x y^2 , dx , dy
Vamos primeiro integrar em relação a .

Passo 6

Integrando integral x y^2 , dx = 12 x^2 y^2 + C em relação a [ 12 x^2 y^2 ] -y - 52 ^2 = 12 (2)^2 y^2 - 12 ( -y - 52 )^2 y^2 :
= 2 y^2 - 12 ( (y - 5)^24 ) y^2 = 2 y^2 - (y - 5)^2 y^28
Agora, aplicamos os limites de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integrando em relação a integral1^9 ( 2 y^2 - (y - 5)^2 y^28 ) dy :
2 integral1^9 y^2 , dy - 18 integral1^9 (y - 5)^2 y^2 , dy
Vamos separar as integrais:
2 [ y^33 ]1^9 = 2 ( 9^33 - 1^33 ) = 2 ( 243 - 13 ) = 2 times 7283 = 14563
Primeira integral:
(y - 5)^2 y^2 = (y^2 - 10y + 25) y^2 = y^4 - 10 y^3 + 25 y^2
Para a segunda integral, vamos expandir 18 integral1^9 (y^4 - 10 y^3 + 25 y^2) , dy = 18 [ y^55 - 10 y^44 + 25 y^33 ]1^9 :
18 [ ( 9^55 - 10 times 9^44 + 25 times 9^33 ) - ( 15 - 104 + 253 ) ]
Então:
Calculando:
Isso dá um valor que, após calcular, será subtraído da primeira parte.

Passo 8

Após calcular as integrais e simplificar os termos, vamos somar os resultados para obter o valor final da integral dupla.

Resposta

Depois de realizar todos os cálculos, a integral dupla sobre a região triangular é igual a .

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