Determine se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty raiz[3]n^6-n^3+1raiz[3]n^6+2 n^4+2 sumn=1^infty 3^n cdot n!n^2 ; sumn=1^infty 1n raiz1+2 n

Passo 1

Olá! Vamos resolver o exercício onde precisamos determinar se cada uma das três séries dadas converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns testes de convergência de séries que aprendemos, como o teste da comparação, o teste da razão e o teste da integral. Vamos analisar cada série passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeira Série:
sumn=1^infty raiz[3]n^6-n^3+1raiz[3]n^6+2 n^4+2
Vamos simplificar os termos para entender o comportamento da série quando raiz[3]n^6-n^3+1 approx raiz[3]n^6 = n^2 tende ao infinito.
Primeiro, observe que:
raiz[3]n^6+2 n^4+2 approx raiz[3]n^6 = n^2
e
n^2n^2 = 1
Portanto, a razão dos termos é aproximadamente:
limn to infty raiz[3]n^6-n^3+1raiz[3]n^6+2 n^4+2 = limn to infty n^2n^2 = 1 neq 0
Isso significa que o termo geral da série tende a 1 quando tende ao infinito.
Aplicando o Teste da Divergência:
Se o limite do termo geral não tende a zero, a série diverge.
Vamos calcular:
Como o limite não é zero, a série diverge.

Passo 3

Segunda Série:
sumn=1^infty 3^n cdot n!n^2
Aqui, temos uma série envolvendo fatorial e exponenciais. Vamos usar o Teste da Razão para determinar a convergência.
Aplicando o Teste da Razão:
Calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
onde
an = 3^n cdot n!n^2
Então:
an+1an = 3^n+1 cdot (n+1)!(n+1)^2 cdot n^23^n cdot n! = 3 cdot (n+1) cdot n^2(n+1)^2 = 3 cdot n^2n+1
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty 3 cdot n^2n+1 = limn to infty 3n = infty
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Passo 4

Terceira Série:
sumn=1^infty 1n raiz1+2 n
Vamos simplificar o termo para aplicar o Teste da Comparação.
Observe que para grandes raiz1 + 2n approx raiz2n = raiz2 cdot raizn :
1n cdot raizn = 1n^3/2
Então, o termo geral se aproxima de:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que a série p:
converge se .
No nosso caso, , então a série comparada converge.
Aplicando o Teste da Comparação:
Como para alguma constante e para todo suficientemente grande, e a série converge, então a série original também converge.

Resposta

  • A primeira série diverge.
  • A segunda série diverge.
  • A terceira série converge.

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