Encontre o escoamento realizado por F sobre a curva da direção de t.
F = (-4 x y) i + (8 y) j - 2 k, r(t) = t i + (t^2) j + k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o escoamento realizado pelo campo vetorial sobre a curva dada pela função no intervalo . Este problema faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir essa parametrização no campo vetorial e calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o escoamento (ou trabalho) realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso é feito através da integral de linha definida por:
onde é o campo vetorial e é o diferencial da curva .

Passo 3

A curva é dada por:
Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos no campo vetorial :
Substituindo , e :

Passo 5

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, integramos o resultado obtido de a :

Resposta

O escoamento realizado por sobre a curva é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva da direção de t.
F = (x y) i + (y) j - (y z) k, r(t) = (t) i + (t^2) j + (t) k, 0 <= t <= 1
Usando coordenadas cilíndricas, calcule I=integral triplaT(x^2+y^2) d V onde T é a região delimitada inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo paraboloide z=x^2+y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=2.
Calcular integral triplaT(x^2+y^2) d V, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=9 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região triangular de vértices (2,9),(2,1) e (-2,1) ; f=x y^2