Encontre o escoamento realizado por
sobre a curva da direção de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o escoamento realizado pelo campo vetorial
sobre a curva dada pela função
no intervalo
. Este problema faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir essa parametrização no campo vetorial
e calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o escoamento (ou trabalho) realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso é feito através da integral de linha definida por:
onde
é o campo vetorial e
é o diferencial da curva
.
Passo 3
A curva é dada por:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
no campo vetorial
:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado obtido de
a
:
Resposta
O escoamento realizado por
sobre a curva é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre o trabalho realizado por
sobre a curva da direção de
.
Usando coordenadas cilíndricas, calcule
onde
é a região delimitada inferiormente pelo plano
, superiormente pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Calcular
, onde
é a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla