Calcular integral triplaT(x^2+y^2) d V, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=9 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo tridimensional. A gente precisa calcular o triplo integral de sobre a região . Essa região é limitada acima pela esfera e abaixo pelo cone . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam lidar com simetrias como essa do cone e da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, a gente descreve um ponto no espaço com x = r costheta, y = r sintheta, z = z , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura acima do plano .
A relação com as coordenadas cartesianas é:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Vamos reescrever a função que vamos integrar, x^2 + y^2 = r^2 , em coordenadas cilíndricas:
Então, o nosso integrando vira simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para r^2 + r^2 = 9 Rightarrow 2r^2 = 9 Rightarrow r = raiz92 = 3raiz2 , z = raiz9 - r^2 e .
  • Para , como a região é simétrica em volta do eixo , varia de a .
  • Para , precisamos ver até onde o raio vai. O cone e a esfera podem ser usados para encontrar o limite máximo de . Substituindo na equação da esfera:
Então, varia de a .
  • Para , para cada , varia do cone até a esfera. O cone é e a esfera resolvida para é:
Então, varia de a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever o triplo integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaT (x^2 + y^2) dV = integral0^2pi integral0^3raiz2 integralr^raiz9 - r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
r^2 cdot r = r^3

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integralr^raiz9 - r^2 r^3 , dz = r^3 [ z ]r^raiz9 - r^2 = r^3 ( raiz9 - r^2 - r ) :

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3raiz2 r^3 ( raiz9 - r^2 - r ) dr :
integral0^3raiz2 r^3 raiz9 - r^2 , dr - integral0^3raiz2 r^4 , dr
Esse integral pode ser dividido em duas partes:
A segunda integral é mais simples, enquanto a primeira pode ser resolvida por substituição.

Passo 8

Calculando a segunda integral:
integral0^3raiz2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3raiz2 = 15 ( 3raiz2 )^5 = 24340 raiz2

Passo 9

Para a primeira integral, fazemos a substituição integral r^3 raiz9 - r^2 , dr = -12 integral (9 - u) raizu , du = -12 ( integral 9u^1/2 , du - integral u^3/2 , du ) , então -12 ( 9 cdot 23 u^3/2 - 25 u^5/2 ) = -12 ( 6 u^3/2 - 25 u^5/2 ) = -3 u^3/2 + 15 u^5/2 . Ajustando os limites:
  • Quando -3 (9 - r^2)^3/2 + 15 (9 - r^2)^5/2 , [ -3 (92)^3/2 + 15 (92)^5/2 ] - [ -3 cdot 9^3/2 + 15 cdot 9^5/2 ] ,
  • Quando , .
Então:
Integrando cada termo:
Voltando para :
Avaliando de a :
Simplificando os termos e calculando os valores, encontramos a integral completa.

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi ( resu:
Após calcular todas as integrais, multiplicamos pelo para obter o valor final.

Resposta

O valor final do triplo integral é .

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