Calcular
, onde
é a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo tridimensional. A gente precisa calcular o triplo integral de
sobre a região
. Essa região
é limitada acima pela esfera
e abaixo pelo cone
. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam lidar com simetrias como essa do cone e da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, a gente descreve um ponto no espaço com
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura acima do plano .
A relação com as coordenadas cartesianas é:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Vamos reescrever a função que vamos integrar,
, em coordenadas cilíndricas:
Então, o nosso integrando vira simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Para
, como a região é simétrica em volta do eixo , varia de a . - Para
, precisamos ver até onde o raio vai. O cone e a esfera podem ser usados para encontrar o limite máximo de . Substituindo na equação da esfera:
Então,
varia de
a
.
- Para
, para cada , varia do cone até a esfera. O cone é e a esfera resolvida para é:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever o triplo integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando o integrando:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Esse integral pode ser dividido em duas partes:
A segunda integral é mais simples, enquanto a primeira pode ser resolvida por substituição.
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Passo 9
Para a primeira integral, fazemos a substituição
, então
. Ajustando os limites:
- Quando
, , - Quando
, .
Então:
Integrando cada termo:
Voltando para
:
Avaliando de
a
:
Simplificando os termos e calculando os valores, encontramos a integral completa.
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Após calcular todas as integrais, multiplicamos pelo
para obter o valor final.
Resposta
O valor final do triplo integral
é
.
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sobre a curva da direção de
.
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.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
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