Encontre a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série juntos! O enunciado pede para encontrar a soma da série:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que envolve fatoriais e potências. Para resolver, vamos precisar conhecer séries de potências e algumas funções trigonométricas que podem nos ajudar a simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. Observe que
é o mesmo que
elevado a
, ou seja,
. Da mesma forma,
é
. Então, podemos reescrever a fração assim:
Passo 3
Agora, nossa série fica:
Isso se parece muito com a expansão em série de uma função trigonométrica. Lembra da série de cosseno? A série de cosseno é:
Passo 4
Comparando as duas séries, vemos que se identificarmos
com
, temos:
Passo 5
Portanto, nossa série original é igual à série de cosseno avaliada em
:
Resposta
A soma da série é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Calcular
, onde
é a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Determine se a série converge ou diverge:
Encontre o raio de convergência e o conjunto de convergência da série