Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
é a região delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região delimitada pelas curvas , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como identificar a área de integração e como configurar a integral com os limites corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram para entender melhor a região . Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas duas a duas.
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Então, ou . Como não pode ser negativo, temos . Assim, . Ponto de interseção: .
Interseção de e :
Primeiro, isolamos na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Resolvendo essa equação (por tentativa e erro ou usando métodos numéricos), encontramos que é uma raiz. Assim, . Ponto de interseção: .
Interseção de e :
Substituindo na segunda equação:
Então, . Ponto de interseção: .
Agora, sabemos que a região está limitada pelos pontos e .
Passo 3
Vamos esboçar a região :
A curva é uma reta que desce do quadrante superior para o inferior.
A curva é uma parábola cúbica que passa pela origem e sobe para a direita.
A reta intercepta o eixo em e o eixo em , mas para até 3, como vimos nos pontos de interseção.
A região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia entre a curva cúbica (superior) e a linha reta (inferior).
Passo 4
Agora que entendemos a região , vamos configurar a integral dupla. A função que vamos integrar é .
Como varia entre e para cada de 0 a 3, podemos escrever a integral da seguinte forma:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :