Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por 8 y=x^3, y=-x e 4 x+y=9 ; f=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região delimitada pelas curvas , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como identificar a área de integração e como configurar a integral com os limites corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram para entender melhor a região 8(-x) = x^3 Rightarrow -8x = x^3 Rightarrow x^3 + 8x = 0 Rightarrow x(x^2 + 8) = 0 . Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas duas a duas.
  1. Interseção de y = 9 - 4x e 8(9 - 4x) = x^3 Rightarrow 72 - 32x = x^3 Rightarrow x^3 + 32x - 72 = 0 :
    Substituindo 4x - x = 9 Rightarrow 3x = 9 Rightarrow x = 3 na primeira equação:
    Então, ou . Como não pode ser negativo, temos . Assim, . Ponto de interseção: .
  2. Interseção de e :
    Primeiro, isolamos na segunda equação:
    Substituindo na primeira equação:
    Resolvendo essa equação (por tentativa e erro ou usando métodos numéricos), encontramos que é uma raiz. Assim, . Ponto de interseção: .
  3. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, . Ponto de interseção: .
Agora, sabemos que a região está limitada pelos pontos e .

Passo 3

Vamos esboçar a região :
  • A curva é uma reta que desce do quadrante superior para o inferior.
  • A curva é uma parábola cúbica que passa pela origem e sobe para a direita.
  • A reta intercepta o eixo em e o eixo em , mas para até 3, como vimos nos pontos de interseção.
A região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia entre a curva cúbica (superior) e a linha reta (inferior).

Passo 4

Agora que entendemos a região integral duplaD x , dy , dx = integralx=0^3 integraly=-x^x^38 x , dy , dx , vamos configurar a integral dupla. A função que vamos integrar é .
Como varia entre e para cada de 0 a 3, podemos escrever a integral da seguinte forma:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=-x^x^38 x , dy = x [ y ]-x^x^38 = x ( x^38 - (-x) ) = x ( x^38 + x ) :
x ( x^38 + x ) = x^48 + x^2
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^3 ( x^48 + x^2 ) dx = integral0^3 x^48 , dx + integral0^3 x^2 , dx
Calculando cada integral separadamente:

Passo 7

Somando os resultados:
24340 + 9 = 24340 + 36040 = 60340
Simplificando, temos:
60340 = 15 340 = 15.075

Resposta

A integral dupla é igual a ou aproximadamente .

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência e o conjunto de convergência da série
sumn=1^infty (x+2)^n(2 n+1) cdot 3^n
Determine se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty raiz[3]n^6-n^3+1raiz[3]n^6+2 n^4+2 sumn=1^infty 3^n cdot n!n^2 ; sumn=1^infty 1n raiz1+2 n
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y^2=x, x=0 e y=1 ; f=exp (x / y).
Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
sumn=0^infty (-2)^n5^n