Encontre o raio de convergência e o conjunto de convergência da série
sumn=1^infty (x+2)^n(2 n+1) cdot 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty (x+2)^n(2n+1) cdot 3^n
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o conjunto de convergência dessa série. Isso significa que queremos saber para quais valores de a série converge (não dá infinito) e qual a distância (raio) a partir do ponto central onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta matemática para verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série. Observamos que temos algo na forma de an = (x+2)^n(2n+1) cdot 3^n dividido por . Para facilitar, podemos escrever isso como:
Aqui, representa o termo geral da série.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. O teste da razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (x+2)^n+1(2(n+1)+1) cdot 3^n+1(x+2)^n(2n+1) cdot 3^n = (x+2)^n+1 cdot (2n+1) cdot 3^n(x+2)^n cdot (2n+3) cdot 3^n+1 :
an+1an = (x+2) cdot (2n+1)(2n+3) cdot 3
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x+2) cdot (2n+1)(2n+3) cdot 3 | tende ao infinito:
2n+12n+3 approx 2n2n = 1 quando n to infty
Observando os termos de L = | x+23 | :
Então, o limite simplifica para:

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que | x+23 | < 1 :
-1 < x+23 < 1
Isso significa que:
-3 < x+2 < 3
Multiplicando todos os lados por 3:
-5 < x < 1
Subtraindo 2 de todas as partes:

Passo 7

Então, o raio de convergência R = 62 = 3 é a metade da largura do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -5 a 1, a largura é 6, então:

Passo 8

Agora, vamos determinar o conjunto de convergência, verificando os pontos finais sumn=1^infty (-5+2)^n(2n+1) cdot 3^n = sumn=1^infty (-3)^n(2n+1) cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^n2n+1 e sumn=1^infty (1+2)^n(2n+1) cdot 3^n = sumn=1^infty 3^n(2n+1) cdot 3^n = sumn=1^infty 12n+1 .
  1. Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do teste da série alternada (os termos diminuem e tendem a zero), então ela converge.
  1. Para :
Substituindo na série:
Essa série é similar à série harmônica (que diverge), então ela diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o conjunto de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty raiz[3]n^6-n^3+1raiz[3]n^6+2 n^4+2 sumn=1^infty 3^n cdot n!n^2 ; sumn=1^infty 1n raiz1+2 n
Encontre a soma da série
sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n3^2 n(2 n)!
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por 8 y=x^3, y=-x e 4 x+y=9 ; f=x.
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y^2=x, x=0 e y=1 ; f=exp (x / y).