Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a região definida por e , e calcular a integral dupla . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisamos entender os limites de integração e escolher a ordem que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos variando de 0 até 8. Para cada valor de , varia de até 2. A função é a raiz cúbica de , que nos dá em termos de .

Passo 3

Vamos esboçar a região . No gráfico, vai de 0 a 8 no eixo vertical. Para cada , começa em e vai até 2 no eixo horizontal. A curva é igual a , então estamos entre a curva e a linha vertical , de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. A ordem de integração pode ser ou . Vamos escolher a ordem que deixa os limites mais fáceis de trabalhar. Aqui, como já está de 0 a 8 e vai de a 2, fica mais simples integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Então, reescrevemos a integral dupla com a ordem :
Mas na verdade, como vai de a e de a , a integral está corretamente definida como:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, tratamos como constante. A integral de em relação a é:
Então, avaliando de a 2:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos calcular essa integral separadamente:
A integral de em relação a é . A integral de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, avaliamos de a :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A integral dupla vale .

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çã
Suponha que e sejam funções contínuas tal que . Encontre .