Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d A
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
D=(x, y) in R^2: 0 <= y <= 8 e raiz[3]y <= x <= 2 ; f=x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a região definida por e , e calcular a integral dupla . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisamos entender os limites de integração e escolher a ordem que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos variando de 0 até 8. Para cada valor de , varia de até 2. A função é a raiz cúbica de , que nos dá em termos de .

Passo 3

Vamos esboçar a região . No gráfico, vai de 0 a 8 no eixo vertical. Para cada , começa em e vai até 2 no eixo horizontal. A curva é igual a , então estamos entre a curva e a linha vertical , de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. A ordem de integração pode ser ou . Vamos escolher a ordem que deixa os limites mais fáceis de trabalhar. Aqui, como já está de 0 a 8 e vai de a 2, fica mais simples integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Então, reescrevemos a integral dupla com a ordem integralx= raiz[3]0^x=2 integraly=0^y=x^3 xy , dy , dx :
integraly=0^y=8 integralx=raiz[3]y^x=2 xy , dx , dy
Mas na verdade, como vai de a e de a , a integral está corretamente definida como:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integralx=raiz[3]y^x=2 xy , dx :
integral xy , dx = y integral x , dx = y ( x^22 )
Aqui, tratamos y ( 2^22 - (raiz[3]y)^2 2 ) = y ( 42 - y^2/3 2 ) = y ( 2 - y^2/3 2 ) como constante. A integral de em relação a é:
Então, avaliando de a 2:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa:
integraly=0^y=8 ( 2y - y^5/3 2 ) dy
Vamos calcular essa integral separadamente:
integral 2y , dy - 12 integral y^5/3 , dy
A integral de integral y^5/3 , dy = y^8/3 8/3 = 38 y^8/3 em relação a y^2 - 12 cdot 38 y^8/3 = y^2 - 316 y^8/3 é . A integral de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, avaliamos de [ y^2 - 316 y^8/3 ]0^8 = ( 8^2 - 316 cdot 8^8/3 ) - ( 0 - 316 cdot 0^8/3 ) a 8^2 = 64 :
8^8/3 = (2^3)^8/3 = 2^8 = 256
Calculando cada termo:
316 cdot 256 = 48
64 - 48 = 16
Então:

Resposta

A integral dupla vale .

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