Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a região
definida por
e
, e calcular a integral dupla
. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisamos entender os limites de integração e escolher a ordem que facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos
variando de 0 até 8. Para cada valor de
,
varia de
até 2. A função
é a raiz cúbica de
, que nos dá
em termos de
.
Passo 3
Vamos esboçar a região
. No gráfico,
vai de 0 a 8 no eixo vertical. Para cada
,
começa em
e vai até 2 no eixo horizontal. A curva
é igual a
, então estamos entre a curva
e a linha vertical
, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. A ordem de integração pode ser
ou
. Vamos escolher a ordem que deixa os limites mais fáceis de trabalhar. Aqui, como
já está de 0 a 8 e
vai de
a 2, fica mais simples integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Então, reescrevemos a integral dupla com a ordem
:
Mas na verdade, como
vai de
a
e
de
a
, a integral está corretamente definida como:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui, tratamos
como constante. A integral de
em relação a
é:
Então, avaliando de
a 2:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos calcular essa integral separadamente:
A integral de
em relação a
é
. A integral de
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Ao girar em torno do eixo
uma certa região do plano
, obteve-se a seguinte expressão para o volume do sólido resultante
Indique a região e calcule o volume.
Encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Suponha que
e
sejam funções contínuas tal que
. Encontre
.