Ao girar em torno do eixo y uma certa região do plano x y, obteve-se a seguinte expressão para o volume do sólido resultante
V=2 pi integral0^pi / 4(x cos x-x sin x) d x
Indique a região e calcule o volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região no plano xy em torno do eixo y. Precisamos identificar qual é essa região e depois calcular o volume usando a integral que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que está sendo girada. A integral que nos foi dada é:
V = 2pi integral0^pi/4 (x cos x - x sin x) , dx
Essa expressão representa o volume do sólido gerado ao girar a região delimitada pelas funções e entre e em torno do eixo y.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a região é girada em torno de um eixo vertical, como o eixo y. A ideia é imaginar a região dividida em pequenas “cascas” cilíndricas, calcular o volume de cada casca e depois somar todos esses volumes através da integral.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo y é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Onde:
  • V = 2pi integral0^pi/4 x (cos x - sin x) , dx é a distância da casca ao eixo de rotação (eixo y).
  • é a altura da casca.
No nosso caso, a altura da casca é , então a fórmula fica:
Que é exatamente a integral que recebemos.

Passo 4

Vamos agora calcular essa integral. Podemos separar a integral em duas partes para facilitar:
V = 2pi ( integral0^pi/4 x cos x , dx - integral0^pi/4 x sin x , dx )
Para resolver essas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, que é usada quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira Integral: integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Escolhemos:
  • integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C => V = 2pi [ ( x sin x + cos x )0^pi/4 - ( -x cos x + sin x )0^pi/4 ]
  • V = 2pi [ ( pi raiz28 + raiz22 - (0 + 1) ) - ( -pi raiz28 + raiz22 - (0 + 0) ) ] => V = 2pi [ ( pi raiz28 + raiz22 - 1 ) - ( -pi raiz28 + raiz22 ) ]
Aplicando a fórmula:
V = 2pi ( pi raiz28 + raiz22 - 1 + pi raiz28 - raiz22 )
Segunda Integral: V = 2pi ( pi raiz24 - 1 )
Escolhemos:
  • =>
  • =>
Aplicando a fórmula:
Agora, substituindo de volta na expressão do volume:
Calculando os limites:
Para :
Para :
Substituindo:
Simplificando:
Os termos se cancelam:

Resposta

Portanto, o volume do sólido resultante é:
V = 2pi ( pi raiz24 - 1 ) approx pi^2 raiz22 - 2pi

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