Ao girar em torno do eixo
uma certa região do plano
, obteve-se a seguinte expressão para o volume do sólido resultante
Indique a região e calcule o volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região no plano xy em torno do eixo y. Precisamos identificar qual é essa região e depois calcular o volume usando a integral que foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que está sendo girada. A integral que nos foi dada é:
Essa expressão representa o volume do sólido gerado ao girar a região delimitada pelas funções
e
entre
e
em torno do eixo y.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a região é girada em torno de um eixo vertical, como o eixo y. A ideia é imaginar a região dividida em pequenas “cascas” cilíndricas, calcular o volume de cada casca e depois somar todos esses volumes através da integral.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo y é:
Onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação (eixo y). -
é a altura da casca.
No nosso caso, a altura da casca é
, então a fórmula fica:
Que é exatamente a integral que recebemos.
Passo 4
Vamos agora calcular essa integral. Podemos separar a integral em duas partes para facilitar:
Para resolver essas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, que é usada quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira Integral:
Escolhemos:
-
=> -
=>
Aplicando a fórmula:
Segunda Integral:
Escolhemos:
-
=> -
=>
Aplicando a fórmula:
Agora, substituindo de volta na expressão do volume:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos
se cancelam:
Resposta
Portanto, o volume do sólido resultante é:
Exercícios relacionados
Encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.