Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral da equação e depois aplicar a condição inicial para determinar a solução específica do problema.
Passo 2
Vamos identificar a equação diferencial de primeira ordem na forma padrão:
onde
e
. Reconhecer essa forma é importante porque nos permite usar o método do fator integrante para resolver a equação.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante, que é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que pode ser facilmente integrada.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do PVI é: