Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): y' + 2y/t = cos(t)/t^2, y(pi) = 0.
y(t) = sen(t) / t^2çã

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral da equação e depois aplicar a condição inicial para determinar a solução específica do problema.

Passo 2

Vamos identificar a equação diferencial de primeira ordem na forma padrão:
onde e . Reconhecer essa forma é importante porque nos permite usar o método do fator integrante para resolver a equação.

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante, que é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que pode ser facilmente integrada.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para y(t) dividindo ambos os lados por t^2:
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:

Resposta

A solução do PVI é:

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