Encontre o limite de f quando (x, y) -> (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f(x, y) = arctan((|x| + |y|) / (x^2 + y^2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis em Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto de diferentes maneiras.

Passo 2

Vamos começar observando a expressão dentro da função . Temos . Para entender o comportamento dessa fração quando se aproxima de , é útil converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo e por e na fração, temos:
Simplificando, percebemos que o denominador se torna , pois . Então, a expressão se reduz a:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme . A função tem a propriedade de que quando tende a , tende a . Então, se quando , o limite de será .

Passo 5

Para confirmar que quando , notamos que é sempre maior que zero e limitado, já que e . Portanto, à medida que se aproxima de zero, a fração cresce sem limites, indo para .

Passo 6

Com isso, temos que quando .

Resposta

O limite de quando é .

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