Encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis em Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto
de diferentes maneiras.
Passo 2
Vamos começar observando a expressão dentro da função
. Temos
. Para entender o comportamento dessa fração quando
se aproxima de
, é útil converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
por
e
na fração, temos:
Simplificando, percebemos que o denominador se torna
, pois
. Então, a expressão se reduz a:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme
. A função
tem a propriedade de que quando
tende a
,
tende a
. Então, se
quando
, o limite de
será
.
Passo 5
Para confirmar que
quando
, notamos que
é sempre maior que zero e limitado, já que
e
. Portanto, à medida que
se aproxima de zero, a fração
cresce sem limites, indo para
.
Passo 6
Com isso, temos que
quando
.
Resposta
O limite de
quando
é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação
Ao girar em torno do eixo
uma certa região do plano
, obteve-se a seguinte expressão para o volume do sólido resultante
Indique a região e calcule o volume.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e
.